انتگرال دوگانه (Double Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال دوگانه (Double Integral) :
انتگرال دوگانه نوع خاصی از انتگرال چندگانه است که روی یک ناحیه دوبعدی (معمولا در صفحه
\[ xy \]) تعریف می شود. نماد آن
\[ \iint_R f(x,y) \, dA \]است.
تعبیر هندسی: اگر
\[ f(x,y) \ge 0 \]باشد، انتگرال دوگانه حجم زیر سطح
\[ z=f(x,y) \]و بالای ناحیه
\[ R \]را نشان می دهد.
انتگرال دوگانه را می توان به صورت یک انتگرال تکراری (iterated) محاسبه کرد: ابتدا نسبت به یک متغیر انتگرال می گیریم و سپس نسبت به متغیر دیگر. ترتیب انتگرال گیری به شکل ناحیه بستگی دارد.
\[ \iint_R f(x,y) dA = \int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx = \int_{y=c}^{d} \int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dx dy \]انتگرال دوگانه روی نواحی مستطیلی (
\[ a \le x \le b \]،
\[ c \le y \le d \]) ساده تر است:
\[ \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy \].
اگر
\[ f(x,y) = g(x)h(y) \]، آن گاه انتگرال دوگانه به حاصلضرب دو انتگرال ساده تبدیل می شود:
\[ \iint g(x)h(y) dA = (\int g(x) dx)(\int h(y) dy) \].
در مختصات قطبی، انتگرال دوگانه به فرم
\[ \iint_R f(r,\theta) \, r dr d\theta \]در می آید. این تبدیل برای نواحی دایره ای یا بخشی از دایره بسیار مفید است.
کاربردهای فیزیکی: محاسبه جرم یک صفحه ناهمگن با چگالی سطحی
\[ \rho(x,y) \]:
\[ M = \iint_R \rho(x,y) dA \].
مرکز جرم صفحه:
\[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_R x \rho(x,y) dA \]،
\[ \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_R y \rho(x,y) dA \].
گشتاورهای اینرسی صفحه:
\[ I_x = \iint_R y^2 \rho dA \]،
\[ I_y = \iint_R x^2 \rho dA \]،
\[ I_0 = \iint_R (x^2+y^2) \rho dA \].
در الکترومغناطیس، برای محاسبه میدان الکتریکی ناشی از یک توزیع بار سطحی از انتگرال دوگانه استفاده می شود.
در هیدرودینامیک، انتگرال دوگانه برای محاسبه نیروی وارد بر یک سطح درون سیال به کار می رود.
برای محاسبه مساحت یک ناحیه
\[ R \]، انتگرال دوگانه تابع
\[ 1 \]را روی
\[ R \]محاسبه می کنیم:
\[ \text{Area} = \iint_R 1 dA \].
انتگرال دوگانه روی نواحی با مرزهای پیچیده ممکن است نیاز به تقسیم ناحیه به چند زیرناحیه ساده تر داشته باشد.
در نظریه احتمال، برای متغیرهای تصادفی دوبعدی، تابع چگالی احتمال مشترک
\[ f_{XY}(x,y) \]را روی یک ناحیه انتگرال می گیریم تا احتمال رویداد را بیابیم.
انتگرال دوگانه با تغییر متغیرهای خطی (مثلا دوران یا انتقال) با استفاده از دترمینان ماتریس تبدیل (ژاکوبین) محاسبه می شود.
مثال: محاسبه حجم زیر پارابولوئید
\[ z = x^2 + y^2 \]روی دایره
\[ x^2+y^2 \le 1 \]با مختصات قطبی:
\[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r dr d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} \].
انتگرال دوگانه را می توان برای توابع ناپیوسته نیز تعریف کرد، به شرطی که ناپیوستگی ها روی مجموعه ای با اندازه صفر باشند.
در تحلیل عددی، انتگرال دوگانه با روش هایی مانند کوادراتور گاوسی روی مستطیل ها یا روش مونت کارلو برای نواحی نامنظم محاسبه می شود.
رابطه انتگرال دوگانه با انتگرال خطی در قضیه گرین:
\[ \oint_C P dx + Q dy = \iint_R (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA \].
انتگرال دوگانه پایه ای برای تعمیم به انتگرال های روی منیفلدها (منیفلدهای دوبعدی) در هندسه دیفرانسیل است.
