انتگرال چندگانه (Multiple Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال چندگانه (Multiple Integral) :
انتگرال چندگانه به انتگرال گیری از توابع چندمتغیره روی یک ناحیه در فضای
\[ \mathbb{R}^n \]گفته می شود. مهم ترین انواع آن انتگرال دوگانه (روی ناحیه در صفحه) و انتگرال سه گانه (روی ناحیه در فضا) هستند.
انتگرال چندگانه به صورت تکراری (iterated) محاسبه می شود: ابتدا نسبت به یک متغیر، سپس متغیر بعدی و ... . ترتیب انتگرال گیری معمولا اهمیتی ندارد (قضیه فوبینی) به شرطی که تابع مطلقا انتگرال پذیر باشد.
برای انتگرال دوگانه روی ناحیه
\[ R \]در صفحه
\[ xy \]:
\[ \iint_R f(x,y) dA \]که
\[ dA = dx dy \]یا
\[ dy dx \]یا در مختصات قطبی
\[ dA = r dr d\theta \].
انتگرال سه گانه روی ناحیه
\[ V \]در فضا:
\[ \iiint_V f(x,y,z) dV \]که
\[ dV = dx dy dz \]یا در مختصات استوانه ای
\[ dV = r dr d\theta dz \]، و در مختصات کروی
\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho d\phi d\theta \].
\[ \iint_R f(x,y) dA = \int_{y=c}^{d} \int_{x=a(y)}^{b(y)} f(x,y) dx dy \]انتگرال چندگانه برای محاسبه حجم، جرم، مرکز جرم، گشتاورهای اینرسی، شار میدان ها و ... در فیزیک و مهندسی کاربرد دارد.
اگر
\[ f(x,y)=1 \]باشد، انتگرال دوگانه مساحت ناحیه
\[ R \]را می دهد:
\[ \iint_R 1 dA = \text{Area}(R) \].
اگر
\[ f(x,y,z)=1 \]باشد، انتگرال سه گانه حجم ناحیه
\[ V \]را می دهد:
\[ \iiint_V 1 dV = \text{Volume}(V) \].
برای تغییر متغیر در انتگرال چندگانه از ژاکوبین استفاده می شود: اگر تبدیل
\[ (u,v) \]به
\[ (x,y) \]با
\[ x = x(u,v) \]،
\[ y = y(u,v) \]داشته باشیم، آن گاه
\[ dx dy = |J| du dv \]که
\[ J = \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \].
انتگرال دوگانه روی نواحی با مرزهای منحنی اغلب با استفاده از مختصات قطبی ساده می شود:
\[ \iint_R f(x,y) dA = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{r=g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta \].
برای انتگرال سه گانه روی استوانه، مختصات استوانه ای:
\[ x = r\cos\theta \]،
\[ y = r\sin\theta \]،
\[ z=z \]با
\[ dV = r dr d\theta dz \].
برای کره، مختصات کروی:
\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta \]،
\[ y = \rho \sin\phi \sin\theta \]،
\[ z = \rho \cos\phi \]با
\[ dV = \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \].
محاسبه انتگرال سه گانه برای یافتن مرکز جرم یک جسم ناهمگن:
\[ M = \iiint \rho(x,y,z) dV \]،
\[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint x \rho dV \]و مشابه برای
\[ y \]و
\[ z \].
گشتاور اینرسی حول یک محور:
\[ I = \iiint r^2 \rho dV \]که
\[ r \]فاصله از محور است.
انتگرال چندگانه برای توابع با بیش از سه متغیر نیز تعریف می شود، مثلا در فضای فاز مکانیک آماری انتگرال های 6N گانه ظاهر می شوند.
انتگرال چهارگانه و بالاتر بیشتر در ریاضیات محض و فیزیک نظری (نظریه میدان) کاربرد دارند.
برای انتگرال های چندگانه عددی، روش هایی مانند مونت کارلو یا روش های مبتنی بر شبکه به کار می رود.
قضیه فوبینی بیان می کند که اگر تابع روی ناحیه مستطیلی انتگرال پذیر باشد، انتگرال تکراری با هر ترتیبی برابر است.
برای نواحی غیرمستطیلی، باید ناحیه را به زیرنواحی مناسب تقسیم کرد و انتگرال را روی هر قسمت نوشت.
انتگرال دوگانه برای محاسبه شار یک میدان برداری از روی سطح در قضیه دیورژانس (گاوس) ظاهر می شود:
\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV \].
انتگرال سه گانه با انتگرال سطحی در قضیه استوکس مرتبط است.
در تحلیل عددی، انتگرال های چندگانه با روش های تطبیقی (adaptive) محاسبه می شوند تا دقت و کارایی بهبود یابد.
