انتگرال ناسره (Improper Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ناسره (Improper Integral) :
انتگرال ناسره به انتگرال هایی گفته می شود که حداقل یکی از شرایط زیر را داشته باشند: بازه انتگرال گیری نامتناهی باشد (مثل
\[ \int_a^\infty \])، یا تابع در نقاطی از بازه به بی نهایت میل کند (ناپیوستگی از نوع بی نهایت).
برای انتگرال با کران نامتناهی، تعریف می کنیم:
\[ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx \]، در صورتی که حد وجود داشته باشد (متناهی باشد). اگر حد متناهی نباشد، انتگرال واگرا است.
به طور مشابه
\[ \int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx \]و
\[ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx \](با استقلال دو حد).
مثال کلاسیک:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b\to\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b = \lim_{b\to\infty} (1 - \frac{1}{b}) = 1 \](همگرا). اما
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \lim_{b\to\infty} [\ln x]_1^b = \infty \](واگرا).
\[ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx \]نوع دوم انتگرال ناسره: وقتی تابع در نزدیکی نقطه ای مانند
\[ c \](درون بازه) بی نهایت شود. مثلا
\[ \int_a^b f(x) dx \]اگر
\[ f \]در
\[ c \in [a,b] \]دارای ناپیوستگی بی نهایت باشد، به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \int_a^b f = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{c-\epsilon} f + \lim_{\delta \to 0^+} \int_{c+\delta}^b f \].
مثال:
\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 x^{-1/2} dx = \lim_{\epsilon\to0^+} [2\sqrt{x}]_\epsilon^1 = 2 \](همگرا). اما
\[ \int_0^1 \frac{1}{x} dx \]واگراست.
انتگرال ناسره ممکن است شامل ترکیبی از هر دو نوع باشد: هم بازه نامتناهی و هم تابع ناپیوسته.
برای بررسی همگرایی، گاهی از آزمون های مقایسه استفاده می شود: اگر
\[ 0 \le f(x) \le g(x) \]و
\[ \int g \]همگرا باشد، آن گاه
\[ \int f \]همگراست. یا اگر
\[ f \ge g \ge 0 \]و
\[ \int g \]واگرا باشد،
\[ \int f \]واگراست.
انتگرال های ناسره در فیزیک برای محاسبه میدان های پتانسیل ناشی از توزیع های بار نامتناهی، در نظریه احتمال برای توزیع های با تکیه گاه نامتناهی (مثل نرمال) و در تحلیل سیگنال کاربرد دارند.
مثال معروف: انتگرال گاوسی
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \]یک انتگرال ناسره همگرا است.
انتگرال دیریکله
\[ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \]نیز از نوع ناسره است (هم بازه نامتناهی و هم تابع در صفر قابل رفع است).
گاهی انتگرال ناسره را با مقدار اصلی کوشی (Cauchy principal value) تعریف می کنند: برای مثال
\[ \int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx \]در حالت عادی ناسره و واگراست، اما مقدار اصلی کوشی
\[ \lim_{\epsilon\to0^+} (\int_{-1}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^1) = 0 \]است.
برای تابعی که در چند نقطه ناپیوستگی بی نهایت دارد، باید بازه را به زیربازه هایی تقسیم کرد که هر کدام فقط یک ناپیوستگی داشته باشند.
انتگرال ناسره را می توان برای توابع با نوسانات شدید نیز تعریف کرد، مشروط بر اینکه حد وجود داشته باشد.
در تحلیل ریاضی، مفهوم انتگرال ناسره تعمیمی از انتگرال ریمان است و زیرمجموعه ای از انتگرال لبگ محسوب می شود (البته برخی انتگرال های ناسره همگرا هستند اما لبگ همگرا نیستند).
برای توابع با علامت متغیر، همگرایی مطلق (همگرایی
\[ |f| \]) مطرح است. اگر
\[ \int |f| \]همگرا باشد، آن گاه
\[ \int f \]همگراست (ولی عکس آن درست نیست).
مثال:
\[ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx \]همگرای مشروط است (نه مطلق) چون
\[ \int_0^\infty |\frac{\sin x}{x}| dx \]واگراست.
انتگرال ناسره با تغییر متغیر نیز محاسبه می شود اما باید دقت کرد که کران ها نیز تغییر می کنند و ممکن است نوع ناسره بودن تغییر کند.
در کاربردهای مهندسی، انتگرال های ناسره برای مدل سازی سیستم هایی با افق زمانی بی نهایت یا میدان های نزدیک به منبع استفاده می شوند.
