انتگرال نامعین (Indefinite Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال نامعین (Indefinite Integral) :

انتگرال نامعین به مجموعه تمام پادمشتق های یک تابع گفته می شود. اگر

\[ F'(x) = f(x) \]

، آن گاه انتگرال نامعین

\[ f \]

را به صورت

\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]

نشان می دهیم که

\[ C \]

ثابت انتگرال گیری است.

برخلاف انتگرال معین، نتیجه انتگرال نامعین یک خانواده از توابع است (به ازای هر مقدار

\[ C \]

یک تابع). این ثابت به دلیل این است که مشتق ثابت صفر است و هر تابع با اضافه کردن یک ثابت، مشتق یکسانی دارد.

انتگرال نامعین معکوس عمل مشتق گیری است. بنابراین اگر مشتق

\[ f \]

را بدانیم، انتگرال نامعین به ما

\[ f \]

را (تا یک ثابت) بازمی گرداند.

قواعد پایه انتگرال گیری نامعین:

\[ \int k \, dx = kx + C \]

،

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

(برای

\[ n \neq -1 \]

)،

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]

،

\[ \int e^x dx = e^x + C \]

،

\[ \int \sin x dx = -\cos x + C \]

،

\[ \int \cos x dx = \sin x + C \]

.

\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \quad \Longleftrightarrow \quad F'(x) = f(x) \]

خاصیت خطی بودن:

\[ \int [af(x) + bg(x)] dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx \]

.

روش های مهم برای یافتن انتگرال نامعین عبارتند از: تغییر متغیر، جزء به جزء، تفکیک کسرها، جایگزینی مثلثاتی و استفاده از فرمول های کاهشی.

انتگرال گیری جزء به جزء:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

، که از قاعده مشتق حاصلضرب نشأت می گیرد.

انتگرال گیری به روش تغییر متغیر: با قرار دادن

\[ u=g(x) \]

،

\[ du = g'(x)dx \]

، انتگرال به صورت

\[ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \]

ساده می شود.

برای توابع گویا (کسری)، روش تفکیک کسرها به کار می رود که کسر را به جمع کسرهای ساده تر تبدیل می کند.

برخی انتگرال های نامعین به توابع ویژه ختم می شوند، مانند

\[ \int e^{-x^2} dx \]

که به تابع خطا (error function) مربوط است.

در کاربردها، انتگرال نامعین برای حل معادلات دیفرانسیل، یافتن توابع مکان از روی سرعت، و محاسبه پتانسیل از میدان برداری استفاده می شود.

به عنوان مثال، اگر سرعت یک جسم

\[ v(t) = 3t^2 \]

باشد، مکان آن از انتگرال نامعین

\[ s(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C \]

به دست می آید. با دانستن مکان اولیه،

\[ C \]

مشخص می شود.

انتگرال نامعین توابع مثلثاتی:

\[ \int \sec^2 x dx = \tan x + C \]

،

\[ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \]

،

\[ \int \sec x \tan x dx = \sec x + C \]

،

\[ \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C \]

.

انتگرال نامعین توابع هیپربولیک:

\[ \int \sinh x dx = \cosh x + C \]

،

\[ \int \cosh x dx = \sinh x + C \]

.

در انتگرال گیری، گاهی باید از تکنیک هایی مثل کامل کردن مربع، تجزیه به عوامل، یا استفاده از اتحادهای مثلثاتی بهره برد.

بسیاری از انتگرال های نامعین را نمی توان بر حسب توابع ابتدایی (چندجمله ای، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و معکوس آن ها) بیان کرد، مانند

\[ \int \frac{\sin x}{x} dx \]

که به تابع سینوس انتگرال معروف است.

انتگرال نامعین پایه ای برای انتگرال معین است: اگر بتوانیم انتگرال نامعین را بیابیم، با استفاده از قضیه اساسی حسابان، انتگرال معین به سادگی محاسبه می شود.

انتگرال گیری از توابع کسری با درجه صورت بزرگتر از مخرج، ابتدا با تقسیم چندجمله ای ساده می شود.

انتگرال گیری از توابع گنگ (شامل رادیکال) اغلب با تغییر متغیرهای مثلثاتی یا تعویض متغیر مناسب انجام می شود.

انتگرال گیری از توابع لگاریتمی و نمایی معمولا با روش جزء به جزء انجام می شود، مثل

\[ \int \ln x dx = x \ln x - x + C \]

.

انتگرال گیری از توابع معکوس مثلثاتی نیز با جزء به جزء یا فرمول های خاص قابل محاسبه است.

در ریاضیات، انتگرال نامعین یکی از دو شاخه اصلی حسابان است (دیگری مشتق گیری) و ابزاری اساسی در علوم و مهندسی به شمار می رود.

برای توابع چندمتغیره، انتگرال نامعین به مفهوم انتگرال چندبعدی تبدیل می شود که دیگر یک ثابت انتگرال گیری ساده نیست، بلکه توابعی از متغیرهای دیگر ظاهر می شوند.

نرم افزارهایی مانند Mathematica و Wolfram Alpha می توانند انتگرال های نامعین پیچیده را محاسبه کنند.