انتگرال معین (Definite Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال معین (Definite Integral) :
انتگرال معین یکی از مفاهیم پایه ای در حسابان است که برای محاسبه مساحت زیر منحنی یک تابع در یک بازه مشخص به کار می رود. اگر تابع
\[ f(x) \]روی بازه
\[ [a, b] \]تعریف شده باشد، انتگرال معین آن را با نماد
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]نشان می دهند.
این مفهوم از جمع های ریمان نشأت می گیرد: بازه
\[ [a, b] \]را به زیربازه های کوچک تقسیم کرده، در هر زیربازه مقدار تابع را در نقطه ای مشخص محاسبه و سپس حاصلضرب این مقادیر در طول زیربازه ها را جمع می کنیم. با ظریف تر شدن تقسیم بندی، این جمع به انتگرال معین نزدیک می شود.
از نظر هندسی، اگر
\[ f(x) \ge 0 \]باشد، انتگرال معین مساحت ناحیه بین منحنی
\[ y=f(x) \]و محور
\[ x \]ها از
\[ x=a \]تا
\[ x=b \]را نشان می دهد. اگر تابع مقادیر منفی نیز داشته باشد، انتگرال معین مساحت خالص (با علامت) را محاسبه می کند.
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x \]ویژگی های مهم انتگرال معین: خطی بودن
\[ \int (c f + d g) = c \int f + d \int g \]، خاصیت جمع پذیری نسبت به بازه
\[ \int_a^b + \int_b^c = \int_a^c \]، و اگر
\[ a > b \]باشد آن گاه
\[ \int_a^b = -\int_b^a \].
قضیه اساسی حسابان رابطه بین انتگرال معین و نامعین را برقرار می کند: اگر
\[ F \]پادمشتق
\[ f \]باشد (یعنی
\[ F' = f \])، آن گاه
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \].
کاربردهای انتگرال معین بسیار گسترده است: محاسبه مساحت، حجم اجسام دوار، طول منحنی، کار انجام شده توسط نیروی متغیر، مرکز جرم، گشتاورهای اینرسی، و در علوم مهندسی، فیزیک، اقتصاد و آمار.
برای مثال، مساحت زیر سهمی
\[ y=x^2 \]از
\[ x=0 \]تا
\[ x=2 \]برابر است با
\[ \int_0^2 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^2 = \frac{8}{3} \].
در انتگرال معین، نتیجه یک عدد است (برخلاف انتگرال نامعین که خانواده ای از توابع است). همچنین انتگرال معین می تواند به عنوان حدی از مجموع ریمان تفسیر شود که در آن نرمال تقسیم بندی به صفر میل می کند.
انتگرال معین برای توابع ناپیوسته نیز تعریف می شود، به شرطی که ناپیوستگی ها از نوع پرش یا بی نهایت نباشند (یا اگر باشند، انتگرال ناسره تعریف می شود).
در فیزیک، انتگرال معین برای محاسبه کار نیروی متغیر
\[ W = \int F(x) dx \]، شار میدان ها، پتانسیل الکتریکی و ... کاربرد دارد.
در احتمال، برای یافتن احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته در بازه
\[ [a,b] \]از انتگرال معین چگالی احتمال استفاده می شود:
\[ P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx \].
محاسبات عددی انتگرال معین با روش هایی مانند ذوزنقه ای، سیمپسون، و گاوسی-لژاندر انجام می شود.
انتگرال معین می تواند روی بازه های نامتناهی (مثل
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx \]) تعریف شود که به انتگرال ناسره معروف است.
اگر تابع
\[ f \]بر
\[ [a,b] \]پیوسته باشد، انتگرال معین آن وجود دارد و متناهی است. این نتیجه از قضیه اساسی حسابان ناشی می شود.
همچنین انتگرال معین با تغییر متغیر نیز محاسبه می شود: اگر
\[ u=g(x) \]، آن گاه
\[ \int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \].
مثال دیگر:
\[ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1 \]که مساحت زیر یک ربع سینوس را نشان می دهد.
انتگرال معین برای توابع چندمتغیره به انتگرال دوگانه و سه گانه تعمیم می یابد.
از دیدگاه تاریخی، مفهوم انتگرال معین توسط نیوتن و لایب نیتس بنا نهاده شد و سپس ریمان آن را به صورت امروزی formalized کرد.
در نهایت، انتگرال معین ابزاری قدرتمند برای مدل سازی پدیده های تجمعی است.
