معادله دیفرانسیل تعمیم یافته واکنش-نفوذ (Generalized Reaction-Diffusion Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات دیفرانسیل (Differential Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل تعمیم یافته واکنش-نفوذ (Generalized Reaction-Diffusion Equation) :
این یک خانواده بسیار گسترده از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است که در زیست شناسی، شیمی، فیزیک و اکولوژی کاربرد دارد. شکل کلی آن به صورت زیر است:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D(u) \nabla u) + R(u) \]که در آن
\[ u(\mathbf{r}, t) \]چگالی یا غلظت یک کمیت (مثلا جمعیت یک گونه، غلظت یک ماده شیمیایی، یا دما)،
\[ D(u) \]ضریب نفوذ (که می تواند به
\[ u \]وابسته باشد - نفوذ غیرخطی)، و
\[ R(u) \]جمله واکنش (محلی) است. با انتخاب توابع مختلف برای
\[ D \]و
\[ R \]، می توان پدیده های متنوعی را مدل سازی کرد:
- (Fisher-Kolmogorov)
\[ D = \text{constant} \]و
\[ R(u) = r u(1-u) \]: معادله فیشر-کلموگروف (جمعیت با رشد لجستیک و انتشار).
- (Porous Media Equation)
\[ D(u) = D_0 u^n \](نفوذ غیرخطی): مدل سازی انتشار در محیط های متخلخل.
- (Bistable Systems)
\[ R(u) = u(1-u)(u-a) \](واکنش سه پایدار): مدل سازی سیستم های زیستی با دو حالت پایدار.
تحلیل این معادلات شامل مطالعه امواج پیشرونده (Traveling Waves)، پایداری حالت های یکنواخت، و تشکیل الگوهای مکانی-زمانی است.
