معادله دیفرانسیل استورم-لیوویل (Sturm-Liouville Differential Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات دیفرانسیل (Differential Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل استورم-لیوویل (Sturm-Liouville Differential Equation) :
این یک چارچوب کلی برای مطالعه معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم خودالحاق (Self-Adjoint) است. شکل کلی آن به صورت
\[ \frac{d}{dx} \left[ p(x) \frac{dy}{dx} \right] + q(x) y + \lambda w(x) y = 0 \]است که در آن
\[ \lambda \]یک پارامتر (مقدار ویژه) و
\[ w(x) \]تابع وزن (Weight Function) نامیده می شود. این معادله در مسائل مقدار مرزی (BVP) ظاهر می شود و نظریه استورم-لیوویل بیان می کند که تحت شرایط مرزی مناسب، مقادیر ویژه
\[ \lambda \]یک مجموعه گسسته و حقیقی را تشکیل می دهند و توابع ویژه متناظر، یک پایه متعامد (Orthogonal Basis) با وزن
\[ w(x) \]برای فضای توابع تشکیل می دهند. بسیاری از معادلات مهم فیزیک ریاضی مانند معادله لژاندر و بسل را می توان به صورت مسائل استورم-لیوویل فرموله کرد. این نظریه پایه و اساس روش های جداسازی متغیرها در حل PDEها و همچنین مبنای ریاضی مکانیک کوانتومی است.
