معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بر اساس رفتار فیزیکی (PDE Classification by Behavior)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات دیفرانسیل (Differential Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بر اساس رفتار فیزیکی (PDE Classification by Behavior) :
PDEها بر اساس ماهیت فیزیکی پدیده ای که توصیف می کنند به سه دسته اصلی تقسیم می شوند:
(Elliptic Equations) معادلات بیضوی: این معادلات معمولا پدیده های پایا (Steady-State) و تعادلی را توصیف می کنند. مشهورترین مثال آن معادله لاپلاس (
\[ \nabla^2 u = 0 \]) و معادله پواسون (
\[ \nabla^2 u = f \]) است. این معادلات وابسته به زمان نیستند و برای توصیف میدان های پتانسیل الکتریکی، میدان های گرانشی، و توزیع دما در حالت پایدار به کار می روند.
(Parabolic Equations) معادلات سهموی: این معادلات پدیده های وابسته به زمان و پخش (Diffusion) را توصیف می کنند. مهم ترین مثال آن معادله گرما (یا معادله انتشار) به شکل
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u \]است. این معادلات نشان می دهند که چگونه یک کمیت (مانند دما یا غلظت) در طول زمان در یک محیط پخش می شود.
(Hyperbolic Equations) معادلات هذلولوی: این معادلات پدیده های نوسانی و انتشار موج را توصیف می کنند. بارزترین مثال آن معادله موج به شکل
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \]است. این معادلات در توصیف ارتعاشات سازه ها، انتشار صوت و امواج الکترومغناطیسی کاربرد دارند.
