ابرفضا (Hyperspace)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

ابرفضا (Hyperspace) :

ابرفضا (Hyperspace) یک فضای توپولوژیک است که نقاط آن زیرمجموعه های یک فضای توپولوژیک دیگر هستند. معمول ترین نوع، فضای زیرمجموعه های بسته (یا فشرده) یک فضا با توپولوژی ویتوریس (Vietoris topology) یا توپولوژی هاسدورف (Hausdorff metric) است.

برای یک فضای متریک

\[ (X,d) \]

، ابرفضا

\[ CL(X) \]

(مجموعه همه زیرمجموعه های بسته و غیرتهی

\[ X \]

) با متر هاسدورف

\[ d_H \]

تعریف می شود:

\[ d_H(A,B) = \max \{ \sup_{a \in A} d(a,B), \sup_{b \in B} d(b,A) \} \]

.

ویژگی ها:

اگر

\[ X \]

فشرده باشد،

\[ CL(X) \]

با متر هاسدورف نیز فشرده است.

ابرفضاها در نظریه شاخه ها (continuum theory) و هندسه دیجیتال کاربرد دارند.

توپولوژی ویتوریس یک پایه از مجموعه های

\[ U^+ = \{A: A \subseteq U\} \]

و

\[ U^- = \{A: A \cap U \neq \emptyset\} \]

دارد.

\[ \text{Hyperspace} = \{ A \subseteq X \mid A \text{ بسته و غیرتهی} \} \]

ابرفضاها به ما اجازه می دهند مجموعه ها را به عنوان نقاط در یک فضای جدید مطالعه کنیم.