فضای کامل (Complete Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای کامل (Complete Space) :
فضای کامل (Complete space) یک فضای متریک (یا به طور کلی یک فضای یکنواخت) است که در آن هر دنباله کوشی (Cauchy sequence) همگرا است. این مفهوم یکی از مهم ترین مفاهیم در آنالیز و توپولوژی است.
برای فضاهای متریک، کامل بودن به این معناست که هیچ نقطه ای از فضا کم نیست و همه حدهای دنباله های کوشی درون فضا قرار دارند. مثال ها:
\[ \mathbb{R} \](اعداد حقیقی) کامل است، اما
\[ \mathbb{Q} \](اعداد گویا) کامل نیست.
ویژگی ها:
هر زیرفضای بسته از یک فضای کامل، کامل است.
حاصلضرب فضاهای کامل، کامل است (با متر مناسب).
قضیه انقباض باناخ (Banach fixed-point theorem) در فضاهای کامل برقرار است.
تکمیل (completion) یک فضای متریک، یک فضای کامل است که فضای اصلی را به عنوان یک زیرفضای چگال در بر دارد.
\[ \forall (x_n) \text{ کوشی}, \exists x \in X: x_n \to x \]فضاهای کامل برای آنالیز حقیقی و مختلط اساسی هستند.
