فضای بر (Baire Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای بر (Baire Space) :
فضای بر (Baire space) دو معنی دارد: یکی در آنالیز تابعی (فضاهای برداری با خواص همگرایی) و دیگری در توپولوژی عمومی: فضایی که در آن اشتراک شمارا از مجموعه های باز و چگال، چگال است (خاصیت بیر). این خاصیت به نام رنه لویی بر (René-Louis Baire) نامگذاری شده است.
در توپولوژی عمومی، یک فضای بر فضایی است که در آن هر خانواده شمارا از مجموعه های باز و چگال، اشتراکی چگال دارند. این خاصیت برای فضاهای متریک کامل (مثل
\[ \mathbb{R}^n \]) و فضاهای فشرده-هاسدورف برقرار است.
ویژگی ها:
قضیه بر (Baire category theorem): هر فضای متریک کامل، یک فضای بر است.
هر فضای فشرده-هاسدورف، یک فضای بر است.
در یک فضای بر، هر مجموعه مگر (meager) (اجتماع شمارا از مجموعه های هیچ جا-چگال) دارای فضای داخلی تهی است.
این فضاها در آنالیز تابعی (مثل قضیه Banach–Steinhaus) اهمیت دارند.
\[ \bigcap_{n=1}^\infty U_n \text{ چگال است اگر } U_n \text{ باز و چگال باشند} \]فضاهای بر برای اثبات قضایای وجودی (existence theorems) بسیار مفید هستند.
