فضای محدب موضعی (Locally Convex Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای محدب موضعی (Locally Convex Space) :
فضای محدب موضعی (Locally convex space) یک فضای برداری توپولوژیک است که در آن هر نقطه دارای یک پایه موضعی از مجموعه های محدب (convex) است. این فضاها مهم ترین کلاس فضاهای برداری توپولوژیک در آنالیز تابعی هستند.
این فضاها معمولا توسط خانواده ای از نیم نرم ها (seminorms) تعریف می شوند. توپولوژی آنها ضعیف ترین توپولوژی است که این نیم نرم ها را پیوسته می کند. مثال ها: فضاهای باناخ (با نرم)، فضاهای
\[ C^\infty(\Omega) \]با توپولوژی فشرده-باز، فضاهای توزیع ها (distributions).
ویژگی ها:
هر فضای محدب موضعی، هاسدورف (در صورت تفکیک پذیری) و کاملا منظم است.
قضیه هان-باناخ (Hahn–Banach) در این فضاها برقرار است.
دوگان یک فضای محدب موضعی نیز یک فضای محدب موضعی است.
این فضاها در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و آنالیز تابعی کاربرد دارند.
\[ \forall x \in X, \forall U \ni x \ \text{باز}, \exists V \subseteq U \ \text{محدب و باز}, x \in V \]فضاهای محدب موضعی محیط طبیعی برای آنالیز تابعی مدرن هستند.
