معادله فوکر-پلانک (Fokker-Planck Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله فوکر-پلانک (Fokker-Planck Equation) :
🔍 تعریف: معادله فوکر-پلانک یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی است که تکامل تابع توزیع احتمال یک فرآیند تصادفی (مانند حرکت براونی) را توصیف می کند. این معادله معادل معادله لانگوین برای تابع چگالی احتمال است.
\[ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \left[ A(x,t) P(x,t) \right] + \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left[ B(x,t) P(x,t) \right] \]📌 ویژگی های اصلی:
ضریب رانش (Drift):
\[ A(x,t) \]نشان دهنده اثر نیروهای قطعی (میانگین).
ضریب پخش (Diffusion):
\[ B(x,t) \]نشان دهنده شدت نوسانات تصادفی.
پایستگی احتمال: انتگرال P بر تمام فضا ثابت و برابر ۱ است.
ارتباط با معادله لانگوین: برای یک معادله لانگوین خاص، ضرایب A و B مشخص می شوند.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (حرکت براونی ساده):
\[ A=0, B = D \](ثابت) ⇒ معادله پخش
\[ P_t = D P_{xx} \].
🔹 مثال ۲ (ذره در پتانسیل):
\[ A = -\frac{1}{\gamma} \frac{dU}{dx}, B = \frac{k_B T}{\gamma} \].
🔹 مثال ۳: فرآیند اورنشتاین-اولنبک (نوسانگر خطی با نویز).
🔹 مثال ۴: دینامیک جمعیت با نویز محیطی.
🌍 کاربردها: فیزیک آماری (حرکت براونی، سینتیک شیمیایی)، زیست شناسی (دینامیک جمعیت، نورون ها)، مالی (مدل های نرخ بهره)، مهندسی (نویز در سیستم ها).
📝 نکته جالب: این معادله به افتخار آدریان فوکر و ماکس پلانک نامگذاری شده است. پلانک (که بیشتر برای نظریه کوانتومی معروف است) در سال ۱۹۱۷ این معادله را برای مطالعه نوسانات در تابش الکترومغناطیسی به کار برد.
🧮 حالت پایا: در زمان طولانی، توزیع احتمال به یک حالت پایا (steady-state) می رسد که از حل
\[ \frac{\partial}{\partial x} [A P] = \frac{\partial^2}{\partial x^2} [B P] \]با شرایط مرزی مناسب به دست می آید.
⚠️ نکته: معادله فوکر-پلانک برای فرآیندهای مارکوف (بدون حافظه) معتبر است.
📈 تعادل: در تعادل حرارتی، جواب معادله فوکر-پلانک باید توزیع بولتزمن-گیبس
\[ P(x) \propto e^{-U(x)/k_B T} \]باشد. این شرط، رابطه بین ضرایب A و B (رابطه اینشتین) را به دست می دهد.
🔬 مثال عددی: برای یک ذره در پتانسیل هارمونیک
\[ U(x) = \frac{1}{2} k x^2 \]تحت تأثیر نویز حرارتی، توزیع پایا گاوسی با واریانس
\[ \sigma^2 = \frac{k_B T}{k} \]است.
