معادله آنتروپی (Entropy Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله آنتروپی (Entropy Equation) :
🔍 تعریف: معادله آنتروپی در ترمودینامیک و مکانیک سیالات بیان می کند که نرخ تغییر آنتروپی یک المان سیال با نرخ تولید آنتروپی به دلیل فرآیندهای برگشت ناپذیر (رسانش گرما و اتلاف لزج) و شار آنتروپی مرتبط است.
\[ \rho T \frac{Ds}{Dt} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \Phi \]📌 ویژگی های اصلی:
آنتروپی: s آنتروپی بر واحد جرم.
تولید آنتروپی:
\[ \frac{\Phi}{T} + \frac{k}{T^2} (\nabla T)^2 \]نرخ تولید آنتروپی (همیشه ≥ ۰).
فرآیند برگشت پذیر: اگر رسانش گرما و لزجت نباشند، آنتروپی پایسته است.
قانون دوم ترمودینامیک: تولید آنتروپی همیشه مثبت است.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱: در یک شوک (امواج ضربه ای)، آنتروپی افزایش می یابد.
🔹 مثال ۲: در جریان آرام با گرادیان دما، آنتروپی تولید می شود.
🔹 مثال ۳: در یک فرآیند ایده آل و برگشت پذیر (مانند جریان ایزنتروپیک)، آنتروپی ثابت می ماند.
🌍 کاربردها: طراحی توربین ها و کمپرسورها (برای کاهش اتلاف)، تحلیل اگزرژی، جریان های با شوک، فرآیندهای احتراق.
📝 نکته جالب: معادله آنتروپی شکل دیگری از قانون دوم ترمودینامیک است. برخلاف معادلات پایستگی (جرم، تکانه، انرژی) که قوانین بقا هستند، آنتروپی یک کمیت غیرپایسته است و همیشه (در فرآیندهای برگشت ناپذیر) افزایش می یابد.
🧮 جریان ایزنتروپیک: در جریان های غیرلزج و بدون انتقال حرارت، آنتروپی ثابت است. این معادله به
\[ \frac{Ds}{Dt} = 0 \]ساده می شود.
⚠️ نکته: در شوک ها، تولید آنتروپی قابل توجه است. رابطه رانکین-هوگونیو افزایش آنتروپی را در عرض شوک محاسبه می کند.
📈 اگزرژی: اگزرژی (کار مفید قابل استحصال) با آنتروپی رابطه دارد: افزایش آنتروپی به معنی کاهش اگزرژی است.
🔬 مثال عددی: در یک شوک عمودی در هوا با ماخ ۲، افزایش آنتروپی قابل محاسبه است. این افزایش آنتروپی باعث کاهش فشار بازیابی (pressure recovery) می شود.
