معادله پایستگی انرژی (Energy Conservation Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله پایستگی انرژی (Energy Conservation Equation) :

🔍 تعریف: معادله پایستگی انرژی در مکانیک سیالات و انتقال حرارت بیان می کند که نرخ تغییر انرژی یک المان سیال برابر است با مجموع کار انجام شده روی آن و گرمای اضافه شده به آن. این معادله بر اساس قانون اول ترمودینامیک است.

\[ \rho \frac{De}{Dt} = -p \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \cdot (k \nabla T) + \Phi \]

📌 ویژگی های اصلی:

انرژی داخلی: e انرژی داخلی بر واحد جرم.

کار فشار:

\[ -p \nabla \cdot \mathbf{v} \]

کار ناشی از تراکم/انبساط.

رسانش گرما:

\[ \nabla \cdot (k \nabla T) \]

انتقال حرارت به دلیل گرادیان دما.

اتلاف لزج:

\[ \Phi \]

نرخ اتلاف انرژی جنبشی به گرما به دلیل لزجت (همیشه مثبت).

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱ (جامد): برای جامد، معادله به

\[ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \dot{q} \]

تبدیل می شود.

🔹 مثال ۲ (جریان غیرلزج): Φ=0.

🔹 مثال ۳: در جریان تراکم ناپذیر،

\[ \nabla \cdot \mathbf{v}=0 \]

.

🔹 مثال ۴: معادله گرما برای جامدات با منبع حرارتی.

🌍 کاربردها: انتقال حرارت، دینامیک سیالات، هواشناسی، طراحی مبدل های حرارتی، احتراق، متالورژی.

📝 نکته جالب: معادله انرژی همراه با معادلات پیوستگی و تکانه، دستگاه معادلات ناویر-استوکس-انرژی را تشکیل می دهد. حل این دستگاه برای جریان های تراکم پذیر و همراه با انتقال حرارت ضروری است.

🧮 تابع اتلاف ریلی: برای سیال نیوتنی، تابع اتلاف

\[ \Phi = \tau : \nabla \mathbf{v} \]

(ضرب نقطه ای دوگانه تانسور تنش لزج و گرادیان سرعت) است.

⚠️ نکته: در جریان های تراکم ناپذیر با خواص ثابت و بدون منبع حرارتی، معادله انرژی از بقیه معادلات جدا می شود و می توان آن را پس از حل میدان سرعت حل کرد.

📈 عدد پرانتل:

\[ Pr = \frac{\nu}{\alpha} \]

نسبت نفوذ ممنتوم به نفوذ حرارتی را نشان می دهد.

🔬 مثال عددی: برای جریان هوا روی یک صفحه تخت گرم، توزیع دما در لایه مرزی حرارتی توسط معادله انرژی تعیین می شود.