معادله پایستگی تکانه (Momentum Conservation Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله پایستگی تکانه (Momentum Conservation Equation) :
🔍 تعریف: معادله پایستگی تکانه در مکانیک سیالات، همان معادله ناویر-استوکس است. این معادله بیان می کند که نرخ تغییر تکانه یک المان سیال برابر است با مجموع نیروهای وارد بر آن (فشار، تنش لزج، نیروهای حجمی).
\[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \mathbf{f} \]📌 ویژگی های اصلی:
نیروهای سطحی: گرادیان فشار و تنش های لزج.
نیروهای حجمی: گرانش، نیروهای الکترومغناطیسی و غیره.
مشتق مادی:
\[ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \]تغییرات در امتداد مسیر ذره را نشان می دهد.
سیال نیوتنی:
\[ \tau = \mu (\nabla \mathbf{v} + (\nabla \mathbf{v})^T) - \frac{2}{3}\mu (\nabla \cdot \mathbf{v}) I \].
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (معادله اویلر): برای سیال غیرلزج،
\[ \tau = 0 \].
🔹 مثال ۲ (معادله هیدرواستاتیک): در سیال ساکن،
\[ \nabla p = \rho \mathbf{g} \].
🔹 مثال ۳: جریان پوازی در لوله.
🔹 مثال ۴: جریان کوئت بین دو صفحه موازی.
🌍 کاربردها: طراحی هواپیما، خودرو، کشتی، سازه های هیدرولیکی، پیش بینی هوا، اقیانوس شناسی، مهندسی شیمی.
📝 نکته جالب: معادلات ناویر-استوکس که بیانگر پایستگی تکانه هستند، توسط کلود-لویی ناویر و جرج گابریل استوکس در قرن ۱۹ فرمول بندی شدند. این معادلات اساس دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) هستند.
🧮 شکل مؤلفه ای: در مختصات دکارتی برای یک سیال نیوتنی تراکم ناپذیر با لزجت ثابت:
\[ \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u + f_x \]و مشابه برای y و z.
⚠️ نکته: حل تحلیلی معادلات ناویر-استوکس فقط در موارد خاص (جریان های ساده) امکان پذیر است. برای مسائل پیچیده از روش های عددی استفاده می شود.
📈 عدد رینولدز: معیاری برای نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای لزج. در Re بالا، جریان آشفته می شود.
🔬 مثال عددی: جریان پوازی در لوله با شعاع R و گرادیان فشار ثابت
\[ -\frac{dp}{dx} = G \]، پروفیل سرعت
\[ u(r) = \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2) \]است.
