معادله پایستگی جرم (Mass Conservation Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله پایستگی جرم (Mass Conservation Equation) :
🔍 تعریف: معادله پایستگی جرم (یا معادله پیوستگی) بیان می کند که جرم در یک سیستم بسته پایسته است. در مکانیک سیالات، این معادله به صورت
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]نوشته می شود.
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]📌 ویژگی های اصلی:
جرم پایسته: نرخ تغییر جرم در یک حجم برابر است با شار خالص جرم وارد شده به آن.
شکل انتگرالی:
\[ \frac{d}{dt} \int_V \rho dV = -\oint_S \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} dS \].
سیال تراکم ناپذیر: اگر ρ ثابت باشد، معادله به
\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]ساده می شود.
کاربرد: در تمام مسائل دینامیک سیالات.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (جریان یکنواخت):
\[ \rho \]ثابت،
\[ \mathbf{v} \]ثابت ⇒
\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]برقرار است.
🔹 مثال ۲ (جریان در لوله): برای سیال تراکم ناپذیر،
\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \].
🔹 مثال ۳: جریان گاز در یک نازل با تغییر چگالی.
🔹 مثال ۴: در معادلات ناویر-استوکس، این معادله همیشه همراه با معادله تکانه حل می شود.
🌍 کاربردها: دینامیک سیالات، هواشناسی، اقیانوس شناسی، مهندسی شیمی، انتقال حرارت.
📝 نکته جالب: معادله پیوستگی یک معادله پایستگی است و برای هر کمیت پایسته ای (جرم، انرژی، بار الکتریکی) قابل نوشتن است. شکل کلی آن
\[ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = S \]است.
🧮 اشتقاق: از اعمال قانون بقا به یک حجم کنترل و استفاده از قضیه دیورژانس به دست می آید.
⚠️ نکته: در حضور واکنش های شیمیایی یا منابع جرم، معادله به
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = \dot{m} \]تبدیل می شود.
📈 معادله پیوستگی برای یک گونه شیمیایی:
\[ \frac{\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c \mathbf{v}) = R \]که R نرخ تولید/مصرف گونه است.
🔬 مثال عددی: در یک لوله با قطر متغیر، اگر سرعت در بخشی با قطر ۱۰ سانتی متر ۲ متر بر ثانیه باشد، در بخشی با قطر ۵ سانتی متر، سرعت
\[ v_2 = v_1 (A_1/A_2) = 2 \times (10^2/5^2) = 8 \]متر بر ثانیه خواهد بود.
