معادله دیفرانسیل کوشی-اویلر (Cauchy-Euler Differential Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل کوشی-اویلر (Cauchy-Euler Differential Equation) :
🔍 تعریف: معادله کوشی-اویلر یک معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر از فرم
\[ a_n x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 x y' + a_0 y = f(x) \]است. این معادله با تغییر متغیر
\[ x = e^t \]به معادله با ضرایب ثابت تبدیل می شود.
\[ a x^2 y'' + b x y' + c y = f(x) \]📌 ویژگی های اصلی:
ضرایب توانی: ضریب هر مشتق متناسب با همان توان x است.
تغییر متغیر: با
\[ x = e^t \]یا
\[ x = -e^t \](برای x>0 یا x<0)، به معادله با ضرایب ثابت تبدیل می شود.
معادله مشخصه: با فرض
\[ y = x^r \]در معادله همگن، یک معادله جبری برای r به دست می آید.
کاربرد: در مسائل با تقارن کروی یا استوانه ای (لاپلاس در مختصات قطبی).
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (مرتبه ۲ همگن):
\[ x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0 \]⇒ فرض
\[ y=x^r \]⇒
\[ r(r-1) - 2r + 2 = 0 \]⇒
\[ r^2 -3r +2 =0 \]⇒
\[ r=1,2 \]⇒
\[ y = C_1 x + C_2 x^2 \].
🔹 مثال ۲ (ریشه مکرر):
\[ x^2 y'' - x y' + y = 0 \]⇒
\[ r(r-1) - r + 1 = 0 \]⇒
\[ (r-1)^2 = 0 \]⇒
\[ y = C_1 x + C_2 x \ln x \].
🔹 مثال ۳ (ناهمگن):
\[ x^2 y'' - 2x y' + 2y = x^3 \].
🔹 مثال ۴ (مرتبه ۳):
\[ x^3 y''' - 3x^2 y'' + 6x y' - 6y = 0 \]⇒
\[ r(r-1)(r-2) - 3r(r-1) + 6r - 6 = 0 \]⇒ ...
🌍 کاربردها: حل معادله لاپلاس در مختصات قطبی (در مسائل با تقارن دایره ای)، معادله اویلر-لاگرانژ در برخی مسائل، مکانیک سیالات.
📝 نکته جالب: این معادله به افتخار لئونارد اویلر و آگوستین لویی کوشی نامگذاری شده است. هر دو ریاضیدان بزرگ در زمینه معادلات دیفرانسیل کارهای بنیادی انجام دادند.
🧮 روش حل با تغییر متغیر: با قرار دادن
\[ x = e^t \]، مشتقات تبدیل می شوند:
\[ x y' = \frac{dy}{dt} \],
\[ x^2 y'' = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \].
⚠️ نکته: برای x منفی، می توان از
\[ x = -e^t \]استفاده کرد. جواب نهایی شامل
\[ |x| \]خواهد بود.
📈 معادله کوشی-اویلر نامرتبه: شکل عمومی
\[ \sum_{k=0}^n a_k x^k y^{(k)} = f(x) \].
🔬 مثال عددی: معادله
\[ x^2 y'' - 3x y' + 3y = 0 \]را حل کنید. معادله مشخصه:
\[ r(r-1) - 3r + 3 = r^2 -4r +3 =0 \]⇒ r=1,3 ⇒
\[ y = C_1 x + C_2 x^3 \].
