معادله پخش خطی (Linear Diffusion Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله پخش خطی (Linear Diffusion Equation) :
🔍 تعریف: معادله پخش خطی همان معادله گرما-رسانش خطی است (با نام دیگر). این معادله ساده ترین مدل برای انتشار ماده، گرما، یا هر کمیت نرده ای دیگر است که از قانون فیک پیروی می کند.
\[ \frac{\partial c}{\partial t} = D \nabla^2 c \]📌 ویژگی های اصلی:
قانون فیک: شار ماده متناسب با گرادیان غلظت است:
\[ \mathbf{J} = -D \nabla c \].
خطی بودن: اصل برهم نهی برقرار است.
ضریب پخش ثابت: D ثابت است.
کاربرد گسترده: در شیمی، زیست شناسی، فیزیک، مهندسی.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (جوهر در آب): پخش یک قطره جوهر در آب ساکن.
🔹 مثال ۲ (آلاینده در هوا): انتشار دود از یک دودکش.
🔹 مثال ۳: پخش مواد مغذی در سلول.
🔹 مثال ۴: پخش حامل های بار در نیمه رسانا.
🌍 کاربردها: مهندسی شیمی (طراحی راکتورها)، علوم محیطی (آلودگی هوا و آب)، زیست شناسی (انتشار مواد در بافت ها)، الکترونیک (پخش ناخالصی ها در نیمه رساناها).
📝 نکته جالب: قانون فیک توسط آدولف فیک، فیزیولوژیست آلمانی، در سال ۱۸۵۵ بر اساس قیاس با قانون فوریه برای گرما ارائه شد. این قانون پایه گذار سینتیک شیمیایی مدرن است.
🧮 جواب اساسی: جواب معادله پخش برای یک منبع نقطه ای (تابع دلتای دیراک) در یک بعد:
\[ c(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t}} e^{-x^2/(4Dt)} \].
⚠️ نکته: میانگین مربع فاصله پخش با زمان به صورت
\[ \langle x^2 \rangle = 2Dt \]رشد می کند. این یک ویژگی بارز پخش خطی است.
📈 معادله پخش با منبع:
\[ c_t = D c_{xx} + S(x,t) \]که S نرخ تولید ماده است.
🔬 مثال عددی: اگر یک قطره جوهر (منبع نقطه ای) در آب بیندازیم، پس از زمان t، توزیع غلظت جوهر یک توزیع گاوسی با واریانس
\[ 2Dt \]خواهد بود.
