معادله جریان تراکم پذیر (Compressible Flow Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله جریان تراکم پذیر (Compressible Flow Equation) :
🔍 تعریف: معادلات حاکم بر جریان سیال تراکم پذیر (مانند گازها در سرعت های بالا) که در آن چگالی متغیر است و به فشار و دما وابسته می باشد. این معادلات شامل معادله پیوستگی کامل، معادله تکانه و معادله انرژی هستند.
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \] \[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \mathbf{f} \] \[ \rho \frac{De}{Dt} + p \nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \Phi \]📌 ویژگی های اصلی:
چگالی متغیر: ρ تابعی از فشار و دما است (معادله حالت).
معادله حالت: رابطه بین ρ, p, T (مثلا
\[ p = \rho R T \]برای گاز کامل).
امواج ضربه ای: در جریان های مافوق صوت، شوک ها (ناپیوستگی ها) ظاهر می شوند.
کاربرد در آیرودینامیک سرعت بالا: هواپیماهای مافوق صوت، موشک ها.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (جریان در نازل موشک): جریان گاز با سرعت بالا و تغییر چگالی.
🔹 مثال ۲ (موج ضربه ای): ایجاد شوک در جلو هواپیمای مافوق صوت.
🔹 مثال ۳ (آیرودینامیک بال در سرعت بالا): نزدیک سرعت صوت (جریان ترانسونیک).
🔹 مثال ۴: جریان گاز در توربین های گازی.
🌍 کاربردها: آیرودینامیک مافوق صوت، طراحی موشک و هواپیما، توربین های گازی، موتورهای جت، هواشناسی (جریان های جوی در ارتفاعات بالا).
📝 نکته جالب: در جریان تراکم پذیر، وقتی سرعت به سرعت صوت می رسد (ماخ = ۱)، تغییرات زیادی در خواص جریان رخ می دهد. گذر از سرعت صوت با پدیده "صدای شکسته شدن دیوار صوتی" همراه است.
🧮 عدد ماخ:
\[ M = \frac{v}{a} \]که a سرعت صوت است. M<1 زیرصوت، M=1 صوتی، M>1 مافوق صوت. معادلات برای M>1 رفتار هذلولوی دارند.
⚠️ نکته: در جریان تراکم پذیر، علاوه بر معادلات ناویر-استوکس، معادله انرژی نیز باید حل شود زیرا تغییرات دما قابل توجه است.
📈 رابطه رانکین-هوگونیو: این روابط پرش در کمیت ها را در عرض یک شوک (امواج ضربه ای) بیان می کنند و از معادلات بقا به دست می آیند.
🔬 مثال عددی: در جریان مافوق صوت حول یک بال، قبل از بال یک شوک کمانی شکل ایجاد می شود. فشار و دما و چگالی پس از شوک افزایش می یابند.
