معادله جریان تراکم ناپذیر (Incompressible Flow Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله جریان تراکم ناپذیر (Incompressible Flow Equation) :
🔍 تعریف: معادلات حاکم بر جریان سیال تراکم ناپذیر (مانند آب یا روغن) که در آن چگالی ثابت فرض می شود. این معادلات شامل معادله پیوستگی
\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]و معادله تکانه (معادلات ناویر-استوکس برای سیال تراکم ناپذیر) هستند.
\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \] \[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f} \]📌 ویژگی های اصلی:
چگالی ثابت: ρ با فشار تغییر نمی کند (برای مایعات و گازها در سرعت های پایین).
معادله پیوستگی ساده:
\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]به معنی تراکم ناپذیری است.
معادلات ناویر-استوکس: معادلات حرکت با لزجت ثابت.
کاربرد گسترده: در تحلیل جریان آب، روغن، هوا در سرعت های پایین.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (جریان در لوله): جریان آرام در لوله (جریان پوازی).
🔹 مثال ۲ (جریان حول بال هواپیما): در سرعت های زیرصوت (با فرض تراکم ناپذیری).
🔹 مثال ۳ (جریان در کانال): بین دو صفحه موازی.
🔹 مثال ۴: جریان خون در رگ ها (با تقریب تراکم ناپذیری).
🌍 کاربردها: هیدرودینامیک (طراحی کشتی ها، زیردریایی ها)، آیرودینامیک (طراحی بال هواپیما در سرعت های پایین)، مهندسی شیمی (جریان در لوله ها)، بیومکانیک (جریان خون).
📝 نکته جالب: معادلات ناویر-استوکس برای سیال تراکم ناپذیر هنوز یکی از مسائل حل نشده ریاضیات (مسائل جایزه دار میلیون دلاری) هستند. اثبات وجود و همواری جواب ها در سه بعد یکی از مسائل هزاره است.
🧮 تابع جریان: برای جریان های دو بعدی تراکم ناپذیر، می توان تابع جریان ψ را تعریف کرد به گونه ای که
\[ u = \frac{\partial \psi}{\partial y} \]و
\[ v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} \]. این تابع به طور خودکار معادله پیوستگی را ارضا می کند.
⚠️ نکته: برای جریان های غیرلزج، معادلات اویلر جایگزین معادلات ناویر-استوکس می شوند.
📈 عدد رینولدز:
\[ Re = \frac{\rho U L}{\mu} \]معیاری برای تشخیص آرام (Re پایین) یا آشفته (Re بالا) بودن جریان است.
🔬 مثال عددی: برای آب با سرعت ۱ متر بر ثانیه در لوله ای به قطر ۰.۱ متر، Re ≈ 100000 (آشفته). برای روغن با لزجت بالا، ممکن است Re پایین باشد.
