معادله خطی بر حسب سه متغیر (Linear Equation in Three Variables)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله خطی بر حسب سه متغیر (Linear Equation in Three Variables) :
🔍 تعریف: معادله ای به شکل
\[ ax + by + cz + d = 0 \]که در آن a, b, c همزمان صفر نیستند. این معادله در فضای سه بعدی یک صفحه را نشان می دهد.
\[ ax + by + cz + d = 0 \]📌 ویژگی های اصلی:
بی نهایت جواب: مجموعه نقاط (x,y,z) که روی یک صفحه قرار دارند.
بردار نرمال: بردار
\[ \mathbf{n} = (a, b, c) \]عمود بر صفحه است.
تقاطع با محورها: نقاط
\[ (-d/a, 0, 0) \](اگر a≠0)، و مشابه برای y و z.
کاربرد: در هندسه فضایی، فیزیک، و مهندسی.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱:
\[ 2x + 3y - z + 6 = 0 \]— بردار نرمال (۲,۳,-۱).
🔹 مثال ۲: صفحه
\[ z = 0 \](صفحه xy) — معادله
\[ 0x + 0y + 1z + 0 = 0 \]؟ بهتر است
\[ z = 0 \]به صورت
\[ 0x + 0y + 1z = 0 \]نوشته شود.
🔹 مثال ۳: صفحه گذرنده از نقطه (۱,۰,۲) با نرمال (۱,۱,۱):
\[ 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-2) = 0 \]⇒
\[ x + y + z - 3 = 0 \].
🔹 مثال ۴:
\[ x = 5 \]— صفحه ای موازی با صفحه yz.
🌍 کاربردها: هندسه فضایی (محاسبه فاصله نقطه از صفحه)، گرافیک کامپیوتری (سطوح)، فیزیک (پتانسیل ثابت در فضا)، کریستالوگرافی (صفحات کریستالی).
📝 نکته جالب: در گرافیک کامپیوتری، از معادله صفحه برای تشخیص برخورد اشعه با اشیا و همچنین برای سایه زنی استفاده می شود.
🧮 فاصله نقطه از صفحه: فاصله نقطه
\[ (x_0, y_0, z_0) \]از صفحه
\[ ax + by + cz + d = 0 \]برابر
\[ \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]است.
⚠️ نکته: دستگاه سه معادله خطی سه مجهول می تواند یک جواب منحصر به فرد (تقاطع سه صفحه)، بی نهایت جواب (اگر صفحات بر یک خط مشترک باشند)، یا هیچ جوابی نداشته باشد.
📈 معادله صفحه به صورت برداری:
\[ (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) \cdot \mathbf{n} = 0 \]که
\[ \mathbf{r}_0 \]یک نقطه روی صفحه و
\[ \mathbf{n} \]بردار نرمال است.
🔬 مثال عددی: فاصله نقطه (۱,۲,۳) از صفحه
\[ x - 2y + 2z - 5 = 0 \]برابر
\[ \frac{|1 - 4 + 6 - 5|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3} \].
