معادله کسری (Fractional Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله کسری (Fractional Equation) :
🔍 تعریف: معادله کسری معادله ای است که در آن متغیر در مخرج کسر ظاهر می شود. به عبارت دیگر، معادله شامل عبارات گویا (کسری) است. این معادلات با تعیین دامنه (مقادیر مجاز) و ضرب در مخرج مشترک حل می شوند.
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) \quad \text{یا} \quad \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{S(x)}{T(x)} \]📌 ویژگی های اصلی:
دامنه: مقادیری که مخرج را صفر می کنند، در دامنه معادله نیستند.
ضرب در مخرج مشترک: برای حل، طرفین را در مخرج مشترک ضرب می کنیم تا به یک معادله چندجمله ای برسیم.
جواب های اضافی: ممکن است جواب های به دست آمده، مخرج را صفر کنند (جواب های اضافی) که باید حذف شوند.
کاربرد در مسائل نرخ و نسبت: در مسائل سرعت، کار، و ترکیب مواد.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱:
\[ \frac{2x}{x-1} = 3 \]— دامنه:
\[ x \neq 1 \]. ضرب در
\[ x-1 \]:
\[ 2x = 3x - 3 \]⇒
\[ x = 3 \](قابل قبول).
🔹 مثال ۲:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{2} \]— مخرج مشترک
\[ x(x+1) \].
🔹 مثال ۳:
\[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0 \]— صورت:
\[ (x-2)(x+2)=0 \]⇒
\[ x=2 \](غیرقابل قبول، مخرج را صفر می کند) و
\[ x=-2 \](قابل قبول).
🔹 مثال ۴:
\[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1}{x+1} \]— دامنه:
\[ x \neq \pm 1 \]. ضرب طرفین:
\[ (x+1)^2 = (x-1)^2 \]⇒
\[ x^2+2x+1 = x^2-2x+1 \]⇒
\[ 4x=0 \]⇒
\[ x=0 \].
🌍 کاربردها: مسائل کسر و نسبت در ریاضیات پایه، فیزیک (سرعت متوسط، مقاومت معادل)، شیمی (غلظت)، اقتصاد (سرعت و کارایی).
📝 نکته جالب: معادلات کسری اغلب در مسائل مربوط به سرعت و زمان (مثلا مسافت، سرعت، زمان) ظاهر می شوند. برای مثال، اگر دو لوله با سرعت های مختلف یک مخزن را پر کنند، معادله حاصل کسری است.
🧮 روش حل کلی: ۱. تعیین دامنه (مقادیر ممنوعه)، ۲. ضرب طرفین در مخرج مشترک، ۳. حل معادله چندجمله ای حاصل، ۴. حذف جواب هایی که در دامنه نیستند.
⚠️ نکته: هرگز نباید قبل از تعیین دامنه، در عبارات شامل متغیر ضرب کرد، زیرا ممکن است جواب های اضافی ایجاد شود.
📈 معادلات کسری مرکب: گاهی معادله شامل چند عبارت کسری است که باید مخرج مشترک گرفته شود. مثال:
\[ \frac{x}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4} \].
🔬 مثال عددی: در مسأله لوله ها: لوله A یک مخزن را در ۳ ساعت و لوله B در ۶ ساعت پر می کند. اگر هر دو با هم باز باشند، زمان پر شدن مخزن از معادله
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t} \]⇒
\[ \frac{1}{2} = \frac{1}{t} \]⇒ t=2 ساعت به دست می آید.
