معادله همیلتونی (Hamiltonian Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله همیلتونی (Hamiltonian Equation) :

🔍 تعریف: معادلات همیلتونی مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول هستند که تکامل یک سیستم دینامیکی را در فضای فاز توصیف می کنند. این معادلات فرمول بندی مجدد مکانیک کلاسیک هستند و برای سیستم های پایستار (بدون اتلاف) به کار می روند.

\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

📌 ویژگی های اصلی:

همیلتونی H: تابعی از مختصات تعمیم یافته

\[ q_i \]

و تکانه های تعمیم یافته

\[ p_i \]

است. اغلب H = T + U (انرژی کل).

فضای فاز: فضای 2n بعدی از متغیرهای (q,p).

پایستگی انرژی: اگر H صریحا به زمان وابسته نباشد، انرژی پایسته است:

\[ \frac{dH}{dt} = 0 \]

.

قضیه لیاویل: حجم در فضای فاز در طول زمان پایسته است (در سیستم های همیلتونی).

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱ (نوسانگر هماهنگ):

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2 \]

⇒

\[ \dot{q} = p/m, \dot{p} = -m\omega^2 q \]

.

🔹 مثال ۲ (آونگ ساده):

\[ H = \frac{p^2}{2m\ell^2} + mg\ell(1 - \cos q) \]

.

🔹 مثال ۳ (ذره در پتانسیل مرکزی):

\[ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(r) \]

.

🔹 مثال ۴ (میدان مغناطیسی): H با پتانسیل برداری اصلاح می شود.

🌍 کاربردها: مکانیک کلاسیک، مکانیک آماری، فیزیک پلاسما، دینامیک ذرات در شتاب دهنده ها، مکانیک سماوی (حرکت سیارات).

📝 نکته جالب: ویلیام همیلتون در قرن ۱۹ این فرمول سازی را ارائه داد. معادلات همیلتون نه تنها در مکانیک، بلکه در اپتیک، الکترومغناطیس و حتی مکانیک کوانتومی (از طریق قیاس) کاربرد دارند. در مکانیک کوانتومی، معادله شرودینگر مشابهت زیادی با معادلات همیلتون دارد.

🧮 براکت پواسون: برای هر دو کمیت f و g، براکت پواسون به صورت

\[ \{f, g\} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right) \]

تعریف می شود. معادلات حرکت را می توان به صورت

\[ \dot{f} = \{f, H\} \]

نوشت.

⚠️ نکته: معادلات همیلتون برای سیستم های با تعداد درجات آزادی محدود به کار می روند. برای سیستم های پیوسته (میدان ها)، معادلات همیلتونی میدانی وجود دارد.

📈 متغیرهای کنش-زاویه: برای سیستم های انتگرال پذیر، می توان با تغییر متغیر به متغیرهای کنش-زاویه (I, θ) رسید که در آنها

\[ \dot{I} = 0 \]

و

\[ \dot{\theta} = \omega(I) \]

. این روش برای تحلیل حرکت های تناوبی و نزدیک به تناوبی بسیار مفید است.

🔬 مثال عددی: برای نوسانگر هماهنگ،

\[ \omega = \sqrt{k/m} \]

و متغیرهای کنش-زاویه:

\[ I = E/\omega \]

,

\[ \theta = \omega t + \theta_0 \]

.