معادله پایستار (Conservative Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله پایستار (Conservative Equation) :
🔍 تعریف: معادله پایستار معادله ای دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که بقای یک کمیت (جرم، تکانه، انرژی، بار و غیره) را در یک سیستم فیزیکی بیان می کند. این معادلات به صورت
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F}(u) = 0 \]نوشته می شوند.
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F}(u) = 0 \]📌 ویژگی های اصلی:
شکل پایستار (Conservation form): معادله به صورتی نوشته می شود که انتگرال u روی یک حجم، فقط با شارهای عبوری از مرز تغییر می کند.
شار (Flux):
\[ \mathbf{F}(u) \]شار کمیت u است.
قوانین بقا: معادلات پایستار بیانگر قوانین بقا در فیزیک هستند.
شوک ها: این معادلات می توانند جواب های ناپیوسته (شوک) داشته باشند.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (معادله پیوستگی جرم):
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \].
🔹 مثال ۲ (بقای انرژی):
\[ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot ((E+P)\mathbf{v}) = 0 \].
🔹 مثال ۳ (معادله برگر بدون لزجت):
\[ u_t + (\frac{1}{2}u^2)_x = 0 \].
🔹 مثال ۴ (قانون بوردا):
\[ u_t + f(u)_x = 0 \].
🌍 کاربردها: دینامیک سیالات (معادلات اویلر، ناویر-استوکس)، فیزیک پلاسما، ترافیک (مدل های جریان ترافیک)، هواشناسی، و هرجا که کمیتی پایسته است.
📝 نکته جالب: شکل پایستار معادلات برای حل عددی بسیار مهم است. روش های عددی که از این شکل استفاده می کنند (مانند روش حجم محدود) می توانند شوک ها و ناپیوستگی ها را به خوبی مدل کنند.
🧮 حل با روش مشخصه ها: برای معادلات پایستار یک بعدی
\[ u_t + (f(u))_x = 0 \]، مشخصه ها خطوطی با سرعت
\[ f'(u) \]هستند و u در طول مشخصه ها ثابت می ماند (تا قبل از تشکیل شوک).
⚠️ نکته: در نقاطی که مشخصه ها به هم می رسند، شوک تشکیل می شود. موقعیت شوک با قانون مساوی مساحت ها (Rankine-Hugoniot condition) تعیین می شود.
📈 شرط رانکین-هوگونیو: سرعت شوک s از رابطه
\[ s[u] = [f(u)] \]به دست می آید، که در آن [ ] نشان دهنده پرش در سراسر شوک است.
🔬 مثال عددی: معادله
\[ u_t + (u^2/2)_x = 0 \](معادله برگر بدون لزجت) را با شرایط اولیه پله ای در نظر بگیرید. این معادله منجر به تشکیل شوک می شود.
