معادله شرودینگر وابسته به زمان (Time-Dependent Schrödinger Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله شرودینگر وابسته به زمان (Time-Dependent Schrödinger Equation) :
🔍 تعریف: معادله شرودینگر وابسته به زمان، معادله بنیادی مکانیک کوانتومی است که تکامل زمانی تابع موج یک سیستم کوانتومی را توصیف می کند. این معادله نقش مشابه قانون دوم نیوتن در مکانیک کلاسیک را دارد.
\[ i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \]📌 ویژگی های اصلی:
عملگر همیلتونی:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \]عملگر انرژی کل سیستم است.
خطی بودن: معادله شرودینگر خطی است، بنابراین برهم نهی جواب ها نیز جواب است.
تفسیر تابع موج:
\[ |\Psi|^2 \]چگالی احتمال حضور ذره را می دهد.
یکتایی جواب: با داشتن تابع موج در لحظه t=0، معادله شرودینگر آن را در زمان های بعدی تعیین می کند.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (ذره آزاد):
\[ V=0 \]، جواب ها امواج تخت
\[ \Psi \propto e^{i(kx - \omega t)} \]با
\[ \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \].
🔹 مثال ۲ (چاه پتانسیل بینهایت): حل معادله وابسته به زمان با جداسازی متغیرها به حالت های ایستا منجر می شود.
🔹 مثال ۳ (بسته موج): حرکت یک بسته موج گاوسی.
🔹 مثال ۴ (تاثیر میدان مغناطیسی): استفاده از پتانسیل برداری در همیلتونی.
🌍 کاربردها: تمام پدیده های کوانتومی (اتم ها، مولکول ها، فیزیک حالت جامد، لیزرها، کامپیوترهای کوانتومی، نانوتکنولوژی).
📝 نکته جالب: اروین شرودینگر معادله خود را در سال ۱۹۲۶ بر اساس ایده دوبروی (موجیت ذرات) و با استفاده از قیاس با اپتیک فرموله کرد. او بعدها از تفسیر احتمالی آن ناراضی بود و جمله معروف "من آن را دوست ندارم و متأسفم که با آن کاری داشتم" را گفت.
🧮 جداسازی متغیرها: اگر همیلتونی مستقل از زمان باشد (
\[ \hat{H} = \hat{H}(\mathbf{r}) \])، می توانیم جواب را به صورت
\[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} \]بنویسیم. آنگاه
\[ \psi \]در معادله مستقل از زمان
\[ \hat{H} \psi = E \psi \]صدق می کند.
⚠️ نکته: معادله شرودینگر یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی است. حل تحلیلی آن فقط برای پتانسیل های ساده ممکن است. برای پتانسیل های پیچیده از روش های عددی استفاده می شود.
📈 پایستگی احتمال: معادله شرودینگر با معادله پیوستگی برای احتمال همراه است:
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \]که
\[ \rho = |\Psi|^2 \]چگالی احتمال و
\[ \mathbf{J} = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \]شار احتمال است.
🔬 مثال عددی: یک الکترون در یک چاه پتانسیل بینهایت یک بعدی به طول L، انرژی های گسسته
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]دارد.
