معادله واندروالس (Van der Waals Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله واندروالس (Van der Waals Equation) :
🔍 تعریف: معادله واندروالس یکی از اولین و معروف ترین معادلات حالت برای گازهای حقیقی است. این معادله با اضافه کردن دو جمله تصحیح به معادله گاز کامل، اثر حجم مولکول ها و نیروهای جاذبه بین مولکولی را در نظر می گیرد.
\[ \left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT \]📌 ویژگی های اصلی:
تصحیح حجم: b (حجم اختصاصی) نشان دهنده حجم خود مولکول هاست. حجم قابل دسترس برای حرکت مولکول ها
\[ V_m - b \]است.
تصحیح فشار: a (ضریب جاذبه) اثر نیروهای جاذبه بین مولکولی را نشان می دهد. فشار داخلی
\[ \frac{a}{V_m^2} \]به فشار خارجی اضافه می شود.
ثابت های a و b: این ثابت ها برای هر ماده متفاوتند و از روی داده های نقطه بحرانی محاسبه می شوند.
انتقال فاز: معادله واندروالس می تواند انتقال فاز مایع-بخار را به صورت کیفی توصیف کند (با استفاده از ساختار ماکسول).
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (کربن دی اکسید): a = 3.59 L² atm / mol², b = 0.0427 L/mol.
🔹 مثال ۲ (آب): a = 5.536 L² atm / mol², b = 0.0305 L/mol.
🔹 مثال ۳ (هلیوم): a بسیار کوچک (۰.۰۳۴) و b کوچک (۰.۰۲۳۷).
🌍 کاربردها: ترمودینامیک (محاسبه خواص گازهای حقیقی)، مهندسی شیمی (طراحی فرآیندها)، فیزیک (مطالعه انتقال فاز).
📝 نکته جالب: یوهانس دیدریک وان در والس در سال ۱۹۱۰ جایزه نوبل فیزیک را برای کار روی معادله حالت گازها و مایعات دریافت کرد.
🧮 نقطه بحرانی: در نقطه بحرانی، مشتقات اول و دوم فشار نسبت به حجم صفر می شوند. از این شرایط می توان a و b را بر حسب فشار و دمای بحرانی به دست آورد:
\[ a = \frac{27 R^2 T_c^2}{64 P_c}, \quad b = \frac{R T_c}{8 P_c} \]⚠️ نکته: معادله واندروالس در پیش بینی دقیق خواص گازها در شرایط مختلف محدودیت دارد. معادلات پیشرفته تر مانند ردلیش-کوانگ و پنگ-رابینسون دقت بیشتری دارند.
📈 ایزوترم ها: در دماهای بالاتر از دمای بحرانی، منحنی P-V همواره نزولی است. در دماهای پایین تر، ایزوترم نوسان دارد (بخار فوق سرد، مایع فوق داغ و ناحیه ناپایدار). ساختار ماکسول (مساوی مساحت ها) برای تعیین فشار بخار اشباع استفاده می شود.
🔬 مثال عددی: برای CO₂ در دمای ۳۰۰ کلوین و حجم ۰.۱ L/mol، فشار از معادله واندروالس محاسبه شود.
