معادله تابعی ژانسن (Jensen's Functional Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله تابعی ژانسن (Jensen's Functional Equation) :

🔍 تعریف: معادله تابعی ژانسن به شکل

\[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2} \]

است. این معادله خاصیت تحدب (convexity) را در حالت برابری بیان می کند. توابعی که در این معادله صدق می کنند، تحت یک شرط اضافی (مثل پیوستگی)، توابع خطی هستند.

\[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2} \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \]

📌 ویژگی های اصلی:

ارتباط با تحدب: توابع محدب (convex) در نامساوی

\[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2} \]

صدق می کنند. در حالت تساوی، به توابع خطی می رسیم.

جواب ها: با فرض پیوستگی، جواب ها توابعی به شکل

\[ f(x) = ax + b \]

هستند.

بدون شرط پیوستگی: جواب های غیرخطی (و بسیار عجیب) نیز وجود دارند، مشابه معادله کوشی.

تعمیم: معادله ژانسن را می توان با میانگین های وزنی نیز تعریف کرد.

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱:

\[ f(x) = 2x+3 \]

— بررسی:

\[ \frac{(2x+3)+(2y+3)}{2} = x+y+3 = 2\left(\frac{x+y}{2}\right)+3 \]

.

🔹 مثال ۲:

\[ f(x) = x^2 \]

در این معادله صدق نمی کند (چون

\[ \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \neq \frac{x^2+y^2}{2} \]

مگر x=y).

🔹 مثال ۳:

\[ f(x) = c \]

ثابت — همیشه جواب است.

🔹 مثال ۴: هر تابع خطی

\[ f(x) = ax + b \]

جواب معادله ژانسن است.

🌍 کاربردها: در اثبات خواص توابع محدب، در نظریه تقریب، و در معادلات تابعی مربوط به میانگین ها.

📝 نکته جالب: نامساوی

\[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2} \]

به نام نامساوی ینسن (Jensen) معروف است و نقش اساسی در نظریه تحدب دارد. حالت تساوی آن منجر به معادله تابعی ینسن می شود.

🧮 ارتباط با معادله کوشی: اگر یک تابع در معادله ینسن صدق کند و شرط

\[ f(0) = 0 \]

نیز برقرار باشد (با جابجایی می توان این شرط را ایجاد کرد)، آنگاه تابع

\[ g(x) = f(x) - f(0) \]

در معادله کوشی

\[ g(x+y) = g(x) + g(y) \]

صدق می کند.

⚠️ نکته: با تبدیل

\[ g(x) = f(x) - f(0) \]

و استفاده از معادله ینسن، می توان نشان داد که

\[ g \]

جمع پذیر است. پس جواب های عمومی معادله ینسن به صورت

\[ f(x) = A(x) + b \]

هستند که A یک تابع جمع پذیر (حل معادله کوشی) و b ثابت است.

📈 معادله ینسن برای میانگین هندسی:

\[ f(\sqrt{xy}) = \frac{f(x) + f(y)}{2} \]

نیز تعمیم دیگری است.