معادله سهمی (Equation of a Parabola)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله سهمی (Equation of a Parabola) :

🔍 تعریف: سهمی مجموعه نقاطی در صفحه است که از یک نقطه ثابت (کانون) و یک خط ثابت (راست هَدا) فاصله مساوی دارند. سهمی یکی از مقاطع مخروطی است.

\[ y - k = a(x - h)^2 \quad \text{(دهانه رو به بالا یا پایین)} \] \[ x - h = a(y - k)^2 \quad \text{(دهانه رو به راست یا چپ)} \]

📌 ویژگی های اصلی:

رأس: نقطه

\[ (h, k) \]

رأس سهمی است.

کانون و راست هَدا: اگر سهمی

\[ y = ax^2 \]

باشد، کانون در

\[ (0, \frac{1}{4a}) \]

و راست هَدا خط

\[ y = -\frac{1}{4a} \]

است.

محور تقارن: خطی که از رأس و کانون می گذرد، محور تقارن سهمی است.

دهانه: علامت a جهت دهانه را تعیین می کند (مثبت = رو به بالا، منفی = رو به پایین).

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱: سهمی

\[ y = 2x^2 \]

— رأس (۰,۰)، کانون

\[ (0, \frac{1}{8}) \]

، راست هَدا

\[ y = -\frac{1}{8} \]

.

🔹 مثال ۲: سهمی

\[ x = -3(y-1)^2 + 2 \]

— رأس (۲,۱)، دهانه به چپ.

🔹 مثال ۳ (مسیر پرتابه): مسیر حرکت یک پرتابه در میدان گرانش یکنواخت (با صرف نظر از مقاومت هوا) به صورت سهمی است.

🔹 مثال ۴ (بازتاب دهنده): بازتاب دهنده های چراغ قوه و آنتن های ماهواره به شکل سهمی هستند.

🌍 کاربردها: فیزیک (مسیر پرتابه ها)، اپتیک (آینه ها و عدسی های سهموی)، مهندسی (طراحی پل ها، آنتن ها)، معماری (سازه های سهموی).

📝 نکته جالب: خاصیت بازتابی سهمی: تمام پرتوهای موازی محور سهمی، پس از بازتاب از سطح سهمی، از کانون عبور می کنند. این خاصیت در طراحی آنتن های ماهواره و چراغ قوه ها استفاده می شود.

🧮 شکل کلی:

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

با شرط

\[ B^2 - 4AC = 0 \]

نشان دهنده سهمی است.

⚠️ نکته: معادله درجه دوم

\[ y = ax^2 + bx + c \]

یک سهمی با محور قائم است. رأس آن در

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

قرار دارد.

📈 طول کانونی: فاصله رأس تا کانون

\[ \frac{1}{4|a|} \]

است.

🔬 مثال عددی: در پرتابه ای با سرعت اولیه

\[ v_0 \]

و زاویه θ، مسیر حرکت به صورت

\[ y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta} \]

است که یک سهمی است.