معادله بیضی (Equation of an Ellipse)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله بیضی (Equation of an Ellipse) :
🔍 تعریف: بیضی مجموعه نقاطی در صفحه است که مجموع فاصله های آنها تا دو نقطه ثابت (کانون ها) مقدار ثابتی است. این منحنی یکی از مقاطع مخروطی است.
\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \]📌 ویژگی های اصلی:
مرکز: نقطه
\[ (h, k) \]مرکز بیضی است.
نیم قطر بزرگ و کوچک:
\[ a \]نیم قطر بزرگ (در راستای x) و
\[ b \]نیم قطر کوچک (در راستای y) است (اگر
\[ a > b \]).
کانون ها: در فاصله
\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \]از مرکز روی محور بزرگ قرار دارند.
خروج از مرکز:
\[ e = \frac{c}{a} \]که بین ۰ و ۱ است. برای دایره
\[ e = 0 \].
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱: بیضی
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \]— مرکز مبدأ،
\[ a=4, b=3, c=\sqrt{7} \].
🔹 مثال ۲: بیضی با مرکز (۲, ۱-) و
\[ a=5, b=3 \]به موازات محورها:
\[ \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1 \].
🔹 مثال ۳ (مدار سیارات): مدار سیارات به دور خورشید به صورت بیضی است که خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد.
🔹 مثال ۴: اگر
\[ a = b \]، معادله به دایره تبدیل می شود.
🌍 کاربردها: نجوم (مدار سیارات و اجرام آسمانی)، فیزیک (مسیر ذرات در میدان مرکزی)، مهندسی (طراحی پل ها، آنتن های بیضوی)، اپتیک (بازتاب دهنده های بیضوی).
📝 نکته جالب: یوهانس کپلر در قرن ۱۷ کشف کرد که مدار مریخ به دور خورشید بیضی است، نه دایره. این کشف پایه قوانین کپلر در مکانیک سماوی شد.
🧮 بیضی چرخیده: اگر محورهای بیضی با محورهای مختصات زاویه داشته باشند، معادله شامل جمله
\[ xy \]نیز می شود:
\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]با شرط
\[ B^2 - 4AC < 0 \].
⚠️ نکته: در شکل استاندارد، فرض می کنیم محور بزرگ افقی است. اگر محور بزرگ عمودی باشد،
\[ a \]زیر
\[ (y - k)^2 \]قرار می گیرد.
📈 مساحت بیضی: مساحت بیضی برابر
\[ \pi a b \]است.
🔬 مثال عددی: برای بیضی
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \]، مساحت ≈ ۳۷.۷ واحد مربع.
