معادله دایره (Equation of a Circle)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله دایره (Equation of a Circle) :

🔍 تعریف: دایره مجموعه نقاطی در صفحه است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت (مرکز) مقدار ثابتی (شعاع) است. معادله دایره یکی از مهم ترین معادلات در هندسه تحلیلی است.

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

📌 ویژگی های اصلی:

مرکز و شعاع: نقطه

\[ (h, k) \]

مرکز دایره و

\[ r \]

شعاع آن است.

شکل کلی: با گسترش معادله بالا، به

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

می رسیم.

شرط دایره بودن: در شکل کلی، باید

\[ D^2 + E^2 - 4F > 0 \]

باشد تا یک دایره حقیقی داشته باشیم.

دایره به مرکز مبدأ: اگر مرکز در مبدأ باشد، معادله به

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

ساده می شود.

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱: دایره به مرکز (۲, ۳-) و شعاع ۴:

\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \]

.

🔹 مثال ۲: دایره

\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \]

را با تکمیل مربع به شکل استاندارد تبدیل کنید.

🔹 مثال ۳: دایره به قطر AB که A(1,2) و B(5,6) است: مرکز (۳,۴) و شعاع

\[ \sqrt{8} \]

.

🔹 مثال ۴: معادله دایره مماس بر محور x در نقطه (۳,۰) و گذرنده از (۰,۳).

🌍 کاربردها: هندسه (محاسبات هندسی)، فیزیک (حرکت دایره ای، امواج)، مهندسی (طراحی چرخ دنده ها، مسیرهای دایره ای)، کامپیوتر (گرافیک، تشخیص الگو).

📝 نکته جالب: دایره یکی از قدیمی ترین اشکال شناخته شده توسط بشر است. مصریان باستان و یونانیان خواص هندسی دایره را به خوبی می شناختند. عدد π (پی) نسبت محیط دایره به قطر آن است.

🧮 تکمیل مربع: برای تبدیل شکل کلی

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

به شکل استاندارد، از روش تکمیل مربع استفاده می کنیم:

\[ (x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]

.

⚠️ نکته: اگر

\[ \frac{D^2 + E^2}{4} - F = 0 \]

، معادله یک نقطه (دایره با شعاع صفر) را نشان می دهد. اگر منفی باشد، دایره موهومی است.

📈 معادله دایره در مختصات قطبی:

\[ r = 2R \cos(\theta - \theta_0) \]

که در آن

\[ R \]

شعاع و

\[ \theta_0 \]

جهت مرکز است. برای دایره به مرکز مبدأ:

\[ r = R \]

.

🔬 مثال عددی: محیط دایره

\[ 2\pi r \]

و مساحت آن

\[ \pi r^2 \]

است. برای دایره با شعاع ۵، محیط ≈ ۳۱.۴۲ و مساحت ≈ ۷۸.۵۴.