معادله پیوستگی (Continuity Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله پیوستگی (Continuity Equation) :

🔍 تعریف: معادله پیوستگی یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که بقای یک کمیت (جرم، بار الکتریکی، انرژی و غیره) را بیان می کند. این معادله می گوید که نرخ تغییرات یک کمیت در یک حجم برابر است با شار خالص آن کمیت وارد شده به حجم.

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]

📌 ویژگی های اصلی:

بقای جرم: در مکانیک سیالات، ρ چگالی جرم و v سرعت سیال است.

بقای بار الکتریکی: در الکترومغناطیس، ρ چگالی بار و v سرعت بارها (جریان الکتریکی) است.

شکل انتگرالی:

\[ \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV = -\oint_S \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS \]

.

سیال تراکم ناپذیر: اگر ρ ثابت باشد، معادله به

\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]

ساده می شود.

💡 مثال های متنوع:

🔹 مثال ۱ (جریان آب در لوله): برای سیال تراکم ناپذیر،

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \]

(بقای جرم).

🔹 مثال ۲ (جریان الکتریکی): معادله پیوستگی برای بار الکتریکی:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \]

.

🔹 مثال ۳ (انتقال حرارت): بقای انرژی گرمایی:

\[ \frac{\partial (\rho c T)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho c T \mathbf{v}) = \nabla \cdot (k \nabla T) + q \]

.

🔹 مثال ۴ (مکانیک کوانتومی): بقای احتمال:

\[ \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \]

که J چگالی جریان احتمال است.

🌍 کاربردها: مکانیک سیالات (طراحی لوله ها و کانال ها)، الکترومغناطیس (تحلیل آنتن ها و مدارها)، انتقال حرارت (طراحی مبدل ها)، مکانیک کوانتومی (تفسیر احتمال), و دینامیک گازها.

📝 نکته جالب: معادله پیوستگی یکی از عمومی ترین معادلات در فیزیک است. هر قانون بقا را می توان به صورت یک معادله پیوستگی نوشت.

🧮 اشتقاق: معادله پیوستگی از اعمال قانون بقا به یک حجم کنترل و استفاده از قضیه دیورژانس (گاوس) به دست می آید.

⚠️ نکته: در حضور چشمه یا چاهک، معادله پیوستگی به صورت

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = S \]

نوشته می شود که S نرخ تولید یا نابودی کمیت است.

📈 شکل های دیگر: برای یک کمیت نرده ای φ با شار

\[ \mathbf{F} \]

، معادله پیوستگی عمومی به صورت

\[ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 \]

است.