معادله پخش (Diffusion Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله پخش (Diffusion Equation) :
🔍 تعریف: معادله پخش همان معادله گرما است، اما برای توصیف پدیده های انتشار ماده (مثل جوهر در آب، آلودگی در هوا، یا حامل های بار در نیمه رسانا) به کار می رود.
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = D \nabla^2 u \]📌 ویژگی های اصلی:
ضریب پخش: D ضریب پخش است (برابر α در معادله گرما).
قانون فیک: شار ماده متناسب با گرادیان غلظت است:
\[ \mathbf{J} = -D \nabla u \].
پایستگی جرم: معادله پخش از قانون پایستگی جرم و قانون فیک به دست می آید.
رفتار: غلظت هموار می شود و مواد از نواحی پرغلظت به کم غلظت حرکت می کنند.
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (جوهر در آب): اگر قطره جوهر در آب بیندازیم، به تدریج پخش می شود.
🔹 مثال ۲ (آلودگی هوا): انتشار دود از دودکش یک کارخانه در هوا.
🔹 مثال ۳ (نیمه رساناها): پخش حامل های بار (الکترون و حفره) در نیمه رساناها.
🔹 مثال ۴ (بیولوژی): انتشار مواد شیمیایی در سلول ها.
🌍 کاربردها: علوم محیطی (آلودگی هوا و آب)، مهندسی شیمی (طراحی راکتورها)، الکترونیک (طراحی دیودها و ترانزیستورها)، بیولوژی (انتشار سیگنال های شیمیایی)، و علوم مواد (پخش اتم ها در آلیاژها).
📝 نکته جالب: آدولف فیک، فیزیولوژیست آلمانی، در سال ۱۸۵۵ قوانین پخش را معرفی کرد. این قوانین اساس معادله پخش هستند.
🧮 روش های حل: همانند معادله گرما: جداسازی متغیرها، تبدیل فوریه، توابع گرین، و روش های عددی.
⚠️ نکته: معادله پخش می تواند با یک جمله نفوذی اضافی (Convection-Diffusion) همراه شود:
\[ u_t + \mathbf{v} \cdot \nabla u = D \nabla^2 u \].
📈 جواب اساسی: جواب معادله پخش برای یک منبع نقطه ای در فضای بی کران یک بعدی:
\[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t}} e^{-x^2/(4Dt)} \](توزیع گاوسی با واریانس
\[ 2Dt \]).
🔬 مثال عددی: فاصله میانگین مربعی پخش در زمان t برابر
\[ \sqrt{2Dt} \]است. هرچه D بزرگتر باشد، پخش سریعتر است.
