معادله دیفرانسیل برنولی (Bernoulli Differential Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل برنولی (Bernoulli Differential Equation) :
🔍 تعریف: معادله دیفرانسیل به شکل
\[ y' + P(x) y = Q(x) y^n \]که n یک عدد حقیقی (معمولا
\[ n \neq 0,1 \]) است. این معادله با یک تغییر متغیر مناسب به معادله خطی تبدیل می شود.
\[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n \]📌 ویژگی های اصلی:
تغییر متغیر: با قرار دادن
\[ u = y^{1-n} \]، معادله به صورت خطی بر حسب u درمی آید.
موارد خاص: اگر n=0، معادله خطی ناهمگن، و اگر n=1، معادله قابل تفکیک است.
نامگذاری: به افتخار ژاکوب برنولی، ریاضیدان سوئیسی، نامگذاری شده است.
💡 مثال ها:
🔹 مثال ۱:
\[ y' + \frac{1}{x} y = x y^2 \]— معادله برنولی با n=2. تغییر متغیر
\[ u = y^{-1} \]⇒
\[ u' - \frac{1}{x} u = -x \](خطی).
🔹 مثال ۲:
\[ y' + y = e^x y^{1/2} \]— n=1/2 ⇒
\[ u = y^{1/2} \]⇒
\[ u' + \frac{1}{2} u = \frac{1}{2} e^x \].
🔹 مثال ۳:
\[ y' - 2xy = xy^3 \]— n=3 ⇒
\[ u = y^{-2} \]⇒
\[ u' + 4x u = -2x \].
🌍 کاربردها: مدل های رشد جمعیت با اثرات غیرخطی، واکنش های شیمیایی با سینتیک غیرخطی، جریان سیالات در محیط های متخلخل (معادله دارسی-برنولی).
📝 نکته جالب: معادله برنولی تعمیمی از معادله خطی است و در دینامیک سیالات (معادله برنولی برای فشار) نیز این نام دیده می شود، اما آن معادله متفاوت است.
🧮 مراحل حل:
معادله را به فرم استاندارد
\[ y' + P(x) y = Q(x) y^n \]بنویسید.
تغییر متغیر
\[ u = y^{1-n} \]را اعمال کنید.
معادله خطی حاصل برای u را با روش عامل انتگرال ساز حل کنید.
به متغیر اصلی بازگردید.
⚠️ نکته: مراقب جواب های از دست رفته باشید. اگر n>0،
\[ y=0 \]ممکن است یک جواب (تعادلی) باشد که در تغییر متغیر نادیده گرفته می شود.
