معادله دیفرانسیل همگن از درجه معین (Homogeneous Differential Equation of a Certain Degree)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله دیفرانسیل همگن از درجه معین (Homogeneous Differential Equation of a Certain Degree) :
🔍 تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول
\[ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \]همگن از درجه n نامیده می شود اگر توابع M و N توابع همگن از درجه n باشند، یعنی
\[ M(tx, ty) = t^n M(x,y) \]و
\[ N(tx, ty) = t^n N(x,y) \]. با تغییر متغیر
\[ y = vx \]به معادله قابل تفکیک تبدیل می شود.
\[ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \quad \text{با M و N همگن از درجه n} \]📌 ویژگی های اصلی:
تغییر متغیر: با قرار دادن
\[ y = vx \]و
\[ dy = v dx + x dv \]، معادله به صورت قابل تفکیک بر حسب x و v درمی آید.
همگن بودن: معادله را می توان به شکل
\[ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \]نوشت.
تعمیم: مفهوم همگن بودن به معادلات مرتبه بالاتر نیز تعمیم می یابد، اما روش حل متفاوت است.
💡 مثال ها:
🔹 مثال ۱:
\[ (x^2 + y^2) dx + (x^2 - xy) dy = 0 \]— بررسی همگن بودن: هر دو تابع همگن درجه ۲ هستند. با
\[ y = vx \]⇒
\[ (1+v^2) dx + (1-v)(v dx + x dv) = 0 \]⇒ ساده سازی و حل.
🔹 مثال ۲:
\[ x y dx + (x^2 + y^2) dy = 0 \]— با
\[ y = vx \]⇒
\[ vx^2 dx + (x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = 0 \].
🔹 مثال ۳:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \]— سمت راست تابعی از
\[ \frac{y}{x} \]است.
🌍 کاربردها: مسائل هندسی مرتبط با منحنی های مشابه (مثل مسیرهای متعامد)، برخی مسائل فیزیک و اقتصاد.
📝 نکته جالب: معادلات همگن اغلب در مسائل مربوط به مقیاس سازی (Scaling) در فیزیک ظاهر می شوند.
🧮 مراحل حل:
بررسی همگن بودن توابع M و N.
قرار دادن
\[ y = vx \]و
\[ dy = v dx + x dv \].
جایگذاری و ساده سازی (x از معادله حذف می شود).
حل معادله قابل تفکیک حاصل بر حسب v و x.
بازگشت به متغیر اصلی با
\[ v = y/x \].
⚠️ نکته: ممکن است در حین ساده سازی، x حذف نشود اگر معادله همگن نباشد. حتما همگن بودن را ابتدا بررسی کنید.
