معادله انتگرالی (Integral Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی (Integral Equation) :
🔍 تعریف: معادله ای که در آن تابع مجهول در زیر علامت انتگرال ظاهر می شود. این معادلات ارتباط نزدیکی با معادلات دیفرانسیل دارند و اغلب از آنها مشتق می شوند.
\[ y(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t) y(t) \, dt \quad \text{(ولترا)} \] \[ y(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t) y(t) \, dt \quad \text{(فردولم)} \]📌 ویژگی های اصلی:
هسته (Kernel): تابع
\[ K(x,t) \]را هسته معادله می نامند.
نوع اول و دوم: اگر تابع مجهول فقط در زیر انتگرال باشد (نوع اول) و اگر هم درون و هم بیرون انتگرال باشد (نوع دوم).
فردولم vs ولترا: در فردولم حدود انتگرال ثابت، در ولترا حد بالایی متغیر است.
حل: با روش های تحلیلی (تبدیل لاپلاس برای هسته های خاص) یا عددی.
💡 مثال ها:
🔹 مثال ۱ (ولترا نوع دوم):
\[ y(x) = x + \int_0^x (x-t) y(t) dt \]— با مشتق گیری به ODE تبدیل می شود.
🔹 مثال ۲ (فردولم نوع اول):
\[ \int_0^1 e^{x t} y(t) dt = e^x - 1 \]— یک معادله انتگرالی با هسته نمایی.
🔹 مثال ۳:
\[ y(x) = \cos x + \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin(x+t) y(t) dt \].
🌍 کاربردها: مسائل مقدار مرزی، انتقال حرارت تابشی، دینامیک جمعیت، تئوری پتانسیل، و پردازش تصویر.
📝 نکته جالب: معادله انتگرالی فردولم نوع دوم در مکانیک کوانتومی برای معادله لیپمن-شوینگر ظاهر می شود.
🧮 ارتباط با معادلات دیفرانسیل: اغلب معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی را می توان به معادلات انتگرالی تبدیل کرد (با استفاده از توابع گرین).
⚠️ نکته: حل عددی معادلات انتگرالی معمولا به حل یک دستگاه معادلات خطی منجر می شود.
