معادله قدر مطلقی (Absolute Value Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله قدر مطلقی (Absolute Value Equation) :
🔍 تعریف: معادله قدر مطلقی معادله ای است که شامل قدر مطلق (قدر مطلق) متغیر یا عبارتی شامل متغیر است. مانند
\[ |x - 3| = 5 \]یا
\[ |2x + 1| = |x - 4| \].
\[ |f(x)| = a \quad (a \ge 0), \quad |f(x)| = |g(x)|, \quad |f(x)| = g(x) \]📌 ویژگی های اصلی:
تعریف قدر مطلق:
\[ |u| = u \]اگر
\[ u \ge 0 \]و
\[ |u| = -u \]اگر
\[ u < 0 \].
معادله
\[ |f(x)| = a \](با
\[ a \ge 0 \]): معادل
\[ f(x) = a \]یا
\[ f(x) = -a \].
معادله
\[ |f(x)| = |g(x)| \]: معادل
\[ f(x) = g(x) \]یا
\[ f(x) = -g(x) \].
معادله
\[ |f(x)| = g(x) \]: ابتدا باید
\[ g(x) \ge 0 \]باشد، سپس
\[ f(x) = g(x) \]یا
\[ f(x) = -g(x) \].
💡 مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (ساده):
\[ |x - 2| = 3 \]⇒
\[ x-2 = 3 \]یا
\[ x-2 = -3 \]⇒
\[ x = 5 \]یا
\[ x = -1 \].
🔹 مثال ۲ (دو قدر مطلق):
\[ |2x - 1| = |x + 3| \]⇒
\[ 2x - 1 = x + 3 \]یا
\[ 2x - 1 = -(x + 3) \]⇒
\[ x = 4 \]یا
\[ x = -\frac{2}{3} \].
🔹 مثال ۳ (با شرط):
\[ |x - 1| = 2x \]— شرط:
\[ 2x \ge 0 \]⇒
\[ x \ge 0 \]. سپس
\[ x-1 = 2x \]یا
\[ x-1 = -2x \]⇒
\[ x = -1 \](رد می شود چون
\[ x \ge 0 \]نیست) یا
\[ x = \frac{1}{3} \](قابل قبول).
🔹 مثال ۴:
\[ |x^2 - 4| = 0 \]⇒
\[ x^2 - 4 = 0 \]⇒
\[ x = \pm 2 \].
🌍 کاربردها: در فاصله یابی (فاصله دو نقطه روی خط اعداد)، خطای مطلق در اندازه گیری، بهینه سازی، و مسائل مربوط به تقریب.
📝 نکته جالب: قدر مطلق در فضای دو بعدی به نرم اقلیدسی تبدیل می شود. معادله
\[ |x| = r \]در یک بعد نشان دهنده دو نقطه و در دو بعد
\[ \sqrt{x^2 + y^2} = r \]نشان دهنده دایره است.
🧮 روش حل کلی: ۱. معادله را بر اساس تعریف قدر مطلق به چند حالت تقسیم کنید، ۲. هر حالت را جداگانه حل کنید، ۳. جواب ها را با شرط آن حالت بررسی کنید، ۴. مجموعه جواب های معتبر را جمع کنید.
⚠️ نکته: همیشه شرط های هر حالت را در نظر بگیرید. جوابی که در شرط آن حالت صدق نکند، قابل قبول نیست.
