معادله درجه چهارم (Quartic Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله درجه چهارم (Quartic Equation) :
تعریف: معادله ای که بالاترین توان متغیر در آن ۴ باشد. شکل کلی:
\[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]تعداد ریشه ها: معادله درجه چهارم می تواند ۰، ۲، یا ۴ ریشه حقیقی داشته باشد (یا ترکیبی از ریشه های حقیقی و مختلط). طبق قضیه اساسی جبر، دقیقا ۴ ریشه (با احتساب تکراری و مختلط) دارد.
ویژگی خاص: برخلاف درجه سوم، معادله درجه چهارم می تواند فاقد ریشه حقیقی باشد (مثلا
\[ x^4 + 1 = 0 \]).
روش های حل:
تبدیل به معادله درجه دوم: با تغییر متغیر
\[ y = x^2 \]در معادلات دو درجه ای (مثل
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \]).
فاکتورگیری: اگر بتوان معادله را به حاصل ضرب دو معادله درجه دوم تجزیه کرد.
روش فراری: روشی کلی برای حل معادلات درجه چهارم که توسط ریاضیدان ایتالیایی فراری ابداع شد.
روش های عددی: مانند نیوتن-رافسون برای یافتن ریشه های تقریبی.
مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱ (دو درجه ای):
\[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \](با قرار دادن
\[ y = x^2 \]، ریشه ها:
\[ x = \pm 1, \pm 2 \])
🔹 مثال ۲:
\[ x^4 - 16 = 0 \](ریشه ها:
\[ x = \pm 2, \pm 2i \])
🔹 مثال ۳:
\[ x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 1 = 0 \]🔹 مثال ۴:
\[ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \](اتحاد
\[ (x+1)^4 =0 \])
کاربردها: در هندسه (محاسبه مساحت و حجم احجام چرخشی)، فیزیک (نظریه نسبیت، حرکت ذرات)، مهندسی (تحلیل ارتعاشات)، گرافیک کامپیوتری (منحنی های درجه ۴).
نمودار: بسته به ضرایب، اشکال متنوعی دارد: می تواند شبیه W یا M باشد، یا یک دره و دو قله، یا فقط یک قله و غیره.
معادله دو درجه ای: اگر معادله به فرم
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \]باشد (جمله درجه سوم و اول نداشته باشد)، آن را دو درجه ای می نامیم و با تغییر متغیر
\[ u = x^2 \]به سادگی حل می شود.
روش فراری خلاصه: ابتدا با تغییر متغیر
\[ x = y - \frac{b}{4a} \]جمله درجه سوم را حذف می کنیم. سپس معادله به فرم
\[ y^4 + py^2 + qy + r = 0 \]تبدیل می شود. با اضافه کردن یک عبارت مناسب و تشکیل یک مکعب کامل، معادله به یک معادله درجه سوم (حلّی) تبدیل می شود. این روش طولانی است اما تضمینی برای یافتن ریشه های دقیق است.
