معادله درجه سوم (Cubic Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله درجه سوم (Cubic Equation) :
تعریف: معادله ای که بالاترین توان متغیر در آن ۳ باشد. شکل کلی آن:
\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]تعداد ریشه ها: هر معادله درجه سوم حداقل یک ریشه حقیقی دارد (چون تابع درجه سوم پیوسته است و در بینهایت مثبت و منفی می شود). حداکثر سه ریشه حقیقی (یا یک حقیقی و دو مختلط) می تواند داشته باشد.
روش حل: برخلاف معادله درجه دوم، فرمول حل معادله درجه سوم بسیار پیچیده تر است (فرمول کاردانو). در بسیاری موارد از روش های عددی یا حدس ریشه (با استفاده از قضیه ریشه گویا) استفاده می شود.
ویژگی ها:
اگر ضرایب حقیقی باشند، ریشه های مختلط همیشه به صورت مزدوج ظاهر می شوند.
می توان با تقسیم چندجمله ای بر یک عامل خطی (مثل
\[ x - r \]) آن را به معادله درجه دوم کاهش داد.
نمودار تابع درجه سوم یک منحنی S-shaped است (یک نقطه عطف دارد).
نقطه عطف در
\[ x = -\frac{b}{3a} \]قرار دارد.
مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱:
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \](ریشه ها:
\[ x=1,2,3 \])
🔹 مثال ۲:
\[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \](ریشه سه گانه
\[ x=1 \])
🔹 مثال ۳:
\[ x^3 + x = 0 \](ریشه ها:
\[ x=0, i, -i \])
🔹 مثال ۴:
\[ 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4 = 0 \]کاربردها: در فیزیک (محاسبه حجم گازها با معادله واندروالس)، مهندسی (تحلیل تنش در تیرها)، اقتصاد (منحنی های هزینه)، گرافیک کامپیوتری (منحنی های Bezier درجه ۳).
تشخیص تعداد ریشه های حقیقی: با استفاده از مشتق گیری و بررسی نقاط بحرانی می توان تعداد ریشه های حقیقی را تخمین زد. همچنین معادله درجه سوم می تواند ۱ یا ۳ ریشه حقیقی داشته باشد (اگر ریشه مضاعف نباشد).
روش کاردانو: این روش قدمت تاریخی دارد و شامل تغییر متغیر برای حذف جمله درجه دوم و سپس استفاده از ریشه های دوم و سوم است. برای معادلات
\[ t^3 + pt + q = 0 \]جواب به صورت
\[ t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} \]می باشد.
