معادله درجه دوم (Quadratic Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات (Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله درجه دوم (Quadratic Equation) :
تعریف: معادله ای که بالاترین توان متغیر در آن ۲ باشد. این معادلات یکی از مهم ترین و پرکاربردترین انواع معادلات هستند.
شکل استاندارد:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]روش حل (فرمول درجه ۲): معروف ترین روش حل، استفاده از فرمول زیر است:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]تجزیه و تحلیل دلتا: مقدار
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]را دلتا می نامیم.
اگر
\[ \Delta > 0 \]، دو ریشه حقیقی متفاوت داریم.
اگر
\[ \Delta = 0 \]، یک ریشه حقیقی مضاعف داریم.
اگر
\[ \Delta < 0 \]، دو ریشه مختلط (مزدوج) داریم.
مثال های متنوع:
🔹 مثال ۱:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \](
\[ \Delta = 1 \]، ریشه ها:
\[ x=2 \]و
\[ x=3 \])
🔹 مثال ۲:
\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \](
\[ \Delta = 0 \]، ریشه:
\[ x=-1 \]مضاعف)
🔹 مثال ۳:
\[ x^2 + x + 1 = 0 \](
\[ \Delta = -3 \]، ریشه های مختلط)
🔹 مثال ۴:
\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \](تقسیم بر ۲:
\[ x^2 - 2x - 3 =0 \])
روش های دیگر حل: فاکتورگیری، تکمیل مربع، رسم نمودار، روش عددی.
کاربردها: فیزیک (پرتابه ها، سقوط آزاد)، مهندسی (طراحی سازه های سهموی)، اقتصاد (حداکثرسازی سود)، هندسه (مساحت و محیط)، علوم کامپیوتر (شبیه سازی).
نمودار سهمی: نمودار معادله
\[ y = ax^2 + bx + c \]یک سهمی است. اگر
\[ a>0 \]سهمی رو به بالا و اگر
\[ a<0 \]رو به پایین است. رأس سهمی در
\[ x = -\frac{b}{2a} \]قرار دارد.
جمع و ضرب ریشه ها: اگر
\[ x_1 \]و
\[ x_2 \]ریشه ها باشند:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]و
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \].
