سیستم های دینامیکی کسری (Fractional Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی کسری (Fractional Systems) :
این مورد با مورد ۱۶ (سیستم های معادلات دیفرانسیل کسری) همپوشانی دارد، اما بر روی مفهوم کلی تری از دینامیک با مشتقات و انتگرال های مرتبه کسری (غیرصحیح) تمرکز دارد. در این سیستم ها، عملگر مشتق نسبت به زمان (یا مکان) از مرتبه
\[ \alpha \](که می تواند کسری باشد، مثلا
\[ \alpha = 0.5 \]) تعریف می شود. این مشتقات کسری ذاتا غیرمحلی (non-local) هستند و به کل تاریخچه تابع وابسته می باشند. بنابراین، سیستم های کسری زیرمجموعه ای از سیستم های با حافظه (مورد ۱۹۱) محسوب می شوند.
وجود حافظه بلندمدت (long-range memory) در این سیستم ها باعث می شود که رفتار آن ها با سیستم های مرتبه صحیح متفاوت باشد. برای مثال، جواب یک معادله کسری خطی
\[ D^\alpha x = \lambda x \]به صورت تابع میتاگ-لوفلر (Mittag-Leffler) است که در ابتدا رشد سریع (نظیر نمایی) و سپس رشد کند (توانی) دارد. این سیستم ها برای مدل سازی پدیده هایی با میرایی یا انتشار ناهنجار (anomalous diffusion) که در آن میانگین مربع جابجایی با
\[ t^\alpha \](نه
\[ t \]) متناسب است، ایده آل هستند.
کاربردهای سیستم های کسری در فیزیک (حرکت براونی کسری، مکانیک محیط های پیوسته)، زیست شناسی (مدل سازی داروشناسی)، مهندسی (کنترل کسری)، و علوم مالی (مدل سازی نوسانات با حافظه بلندمدت) رو به گسترش است. تحلیل پایداری این سیستم ها با استفاده از روش های تبدیل لاپلاس و تابع میتاگ-لوفلر انجام می شود. ناحیه پایداری در صفحه مختلط برای سیستم های کسری به صورت یک زاویه (نه یک نیم صفحه) تعریف می شود.
