سیستم های دینامیکی با حافظه (Systems with Memory)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی با حافظه (Systems with Memory) :
در بسیاری از سیستم های واقعی، وضعیت آینده یک سیستم نه تنها به وضعیت کنونی، بلکه به تاریخچه (گذشته) آن نیز بستگی دارد. این سیستم ها «با حافظه» (with memory) نامیده می شوند. مفهوم حافظه در اینجا بسیار گسترده تر از تأخیر ثابت (مورد ۹) است. حافظه می تواند به صورت وابستگی به کل تاریخچه (مانند معادلات انتگرال-دیفرانسیل - مورد ۱۵)، مشتقات کسری (مورد ۱۶)، یا مدل های هیسترزیس (hysteresis) ظاهر شود. هیسترزیس پدیده ای است که در آن خروجی سیستم نه تنها به ورودی فعلی، بلکه به مسیر گذشته ورودی نیز بستگی دارد (مانند منحنی پسماند در مواد مغناطیسی یا الاستیک).
معادلات با حافظه معمولا به صورت معادلات دیفرانسیل تابعی (Functional Differential Equations - مورد ۱۷) یا معادلات انتگرال-دیفرانسیل مدل می شوند. یک شکل عمومی می تواند به صورت
\[ \dot{x}(t) = f(t, x(t), \int_{-\infty}^t K(t-s) x(s) ds) \]باشد که در آن هسته
\[ K \]نحوه تأثیرگذاری گذشته را تعیین می کند. اگر
\[ K \]یک تابع نمایی باشد، گاهی می توان سیستم را با افزودن متغیرهای جدید به یک سیستم بدون حافظه با بعد بالاتر تبدیل کرد.
سیستم های با حافظه در علوم مواد (ویسکوالاستیسیته)، زیست شناسی (سیستم های ایمنی، تنظیم ژن با بازخورد)، اقتصاد (انتظارات تطبیقی)، و کنترل (کنترل پیشبین) کاربرد دارند. تحلیل آن ها به دلیل بعد نامتناهی فضای حالت، پیچیده تر از سیستم های بدون حافظه است. مفاهیمی مانند پایداری و شاخه زایی با استفاده از روش های تبدیل لاپلاس و تحلیل طیفی در فضاهای تابعی بررسی می شوند.
