سیستم های با خمینه های مرکزی (Center Manifold Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های با خمینه های مرکزی (Center Manifold Systems) :
خمینه مرکزی (center manifold) یک ابزار بسیار مهم در تحلیل سیستم های دینامیکی غیرخطی، به ویژه در نزدیکی نقاط تعادل غیرهذلولوی (نقاطی که خطی سازی دارای مقادیر ویژه با بخش حقیقی صفر است) می باشد. در چنین نقاطی، رفتار سیستم را نمی توان تنها با خطی سازی تعیین کرد، زیرا دینامیک غیرخطی روی خمینه مرکزی تعیین کننده پایداری است. قضیه خمینه مرکزی (center manifold theorem) بیان می کند که در همسایگی یک نقطه تعادل، یک خمینه ناوردا (invariant manifold) به نام خمینه مرکزی
\[ W^c \]وجود دارد که مماس بر زیرفضای مرکزی (مربوط به مقادیر ویژه با بخش حقیقی صفر) خطی سازی است. دینامیک روی این خمینه، رفتار بلندمدت سیستم را در آن همسایگی تعیین می کند و دینامیک در جهت های پایدار و ناپایدار (در صورت وجود) به سمت این خمینه جذب یا از آن دفع می شود.
کاربرد اصلی خمینه مرکزی در کاهش بعد (dimension reduction) است. می توان دینامیک را ابتدا به خمینه مرکزی (که بعد کوچکی دارد) محدود کرد و سپس آن را تحلیل نمود. این روش برای مطالعه شاخه زایی ها (bifurcations) بسیار حیاتی است. برای مثال، در شاخه زایی هاپف (Hopf bifurcation)، خمینه مرکزی دو بعدی است و دینامیک روی آن به یک معادله دیفرانسیل ساده (معادله نرمال) تقلیل می یابد که ظهور چرخه حدی را توضیح می دهد.
محاسبه خمینه مرکزی به صورت تحلیلی معمولا با استفاده از سری های توانی و حل معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبط انجام می شود. این تکنیک در بسیاری از مسائل فیزیک و مهندسی (مانند پایداری سازه ها، نوسان های غیرخطی) کاربرد دارد.
