سیستم های مجانبی پایدار (Asymptotically Stable Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های مجانبی پایدار (Asymptotically Stable Systems) :
پایداری مجانبی (asymptotic stability) قوی ترین نوع پایداری برای نقاط تعادل است. یک نقطه تعادل
\[ x^* \]مجانبی پایدار است اگر: (۱) پایدار لیاپانوف باشد (مسیرهای نزدیک در همسایگی می مانند) و (۲) یک همسایگی از
\[ x^* \]وجود داشته باشد به طوری که هر مسیری که از آن همسایگی شروع شود، در نهایت به
\[ x^* \]همگرا شود (
\[ \lim_{t\to\infty} x(t) = x^* \]). به عبارت دیگر، نقطه تعادل یک جاذب موضعی است.
برای سیستم های خطی
\[ \dot{x} = Ax \]، پایداری مجانبی معادل این است که همه مقادیر ویژه
\[ A \]دارای بخش حقیقی منفی باشند. برای سیستم های غیرخطی، قضیه پایداری لیاپانوف بیان می کند که اگر بتوان یک تابع لیاپانوف
\[ V \]با مشتق منفی معین در یک همسایگی یافت، آن گاه نقطه تعادل مجانبی پایدار است.
ناحیه ای که از آن مسیرها به نقطه تعادل همگرا می شوند، حوزه جاذبه (basin of attraction) نامیده می شود. تعیین دقیق حوزه جاذبه یکی از مسائل چالش برانگیز در دینامیک غیرخطی است.
