سیستم های با نقاط ثابت (Fixed Point Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های با نقاط ثابت (Fixed Point Systems) :
نقاط ثابت (fixed points) نقاطی در فضای حالت هستند که تحت دینامیک تغییر نمی کنند:
\[ f(x^*) = x^* \]برای سیستم های گسسته، و
\[ f(x^*) = 0 \](یعنی میدان برداری صفر) برای سیستم های پیوسته. مطالعه سیستم های دارای نقاط ثابت (که تقریبا همه سیستم ها چنین نقاطی دارند، حداقل به صورت موضعی) بر تحلیل پایداری آن ها و رفتار مسیرها در همسایگی آن ها متمرکز است.
پایداری یک نقطه ثابت با خطی سازی حول آن نقطه تعیین می شود. برای سیستم های پیوسته، اگر همه مقادیر ویژه ماتریس ژاکوبی
\[ Df(x^*) \]دارای بخش حقیقی منفی باشند، نقطه پایدار (جاذب) است. اگر حداقل یک مقدار ویژه بخش حقیقی مثبت داشته باشد، ناپایدار (دافع یا زینی) است. حالت بحرانی (بخش حقیقی صفر) نیاز به تحلیل دقیق تری با استفاده از نظریه منیفلد مرکزی (center manifold) دارد.
در سیستم های گسسته، شرط پایداری قدر مطلق مقادیر ویژه کمتر از یک است. نقاط ثابت می توانند انواع مختلفی داشته باشند: گره (node)، کانون (focus)، زین (saddle) و مرکز (center). تحلیل نقاط ثابت پایه و اساس مطالعه شاخه زایی ها (bifurcations) است، زیرا تغییر پایداری نقاط ثابت با تغییر پارامترها منجر به شاخه زایی می شود.
