دیفئومورفیسم های دایره (Circle Diffeomorphisms)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
دیفئومورفیسم های دایره (Circle Diffeomorphisms) :
دیفئومورفیسم های دایره (circle diffeomorphisms) نگاشت های هموار و وارون پذیری هستند که دایره
\[ S^1 \]را به خودش می برند. این نگاشت ها نقش مهمی در مطالعه سیستم های دینامیکی با بعد یک دارند. آن ها به دلیل ساختار ساده (بعد یک) و در عین حال رفتارهای غنی که می توانند از خود نشان دهند، بسیار مورد مطالعه قرار گرفته اند. یک دیفئومورفیسم دایره را می توان به صورت
\[ f(\theta) = \theta + g(\theta) \mod 1 \]نمایش داد که در آن
\[ g \]یک تابع هموار با دوره تناوب ۱ است.
مفهوم کلیدی در این سیستم ها، عدد چرخش (rotation number)
\[ \rho(f) \]است که میانگین جابجایی هر نقطه را اندازه می گیرد:
\[ \rho(f) = \lim_{n\to\infty} \frac{f^n(\theta)-\theta}{n} \]. این حد برای همه نقاط (به جز نقاطی که روی مدارهای تناوبی هستند) یکسان است و مستقل از
\[ \theta \]می باشد. اگر
\[ \rho \]گویا باشد (مثلا
\[ p/q \])، آن گاه
\[ f \]دارای نقاط تناوبی با دوره
\[ q \]است. اگر
\[ \rho \]اصم (گویا نباشد) باشد، آن گاه
\[ f \]مینیمال است (همه مدارها چگالند) و با یک چرخش خالص (با همان عدد چرخش) هم ریخت (conjugate) است (قضیه دنژوی).
مطالعه دیفئومورفیسم های دایره به درک عمیق تری از پدیده هایی مانند قفل شدگی (locking) و گذار به آشوب در سیستم های با فرکانس های چندگانه کمک می کند. آن ها همچنین در مدل سازی نوسانگرهای جفت شده و سیستم های فیزیکی با تقارن دورانی کاربرد دارند.
