نگاشت های دایره ای (Circle Maps)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت های دایره ای (Circle Maps) :
نگاشت های دایره ای (circle maps) سیستم های دینامیکی گسسته ای هستند که روی دایره
\[ S^1 \](که می توان آن را به صورت بازه
\[ [0,1) \]با شناسایی نقاط ۰ و ۱ نمایش داد) تعریف می شوند. این نگاشت ها معمولا به شکل
\[ f(\theta) = \theta + \omega + \frac{k}{2\pi} \sin(2\pi\theta) \mod 1 \](نگاشت استاندارد دایره) هستند. پارامتر
\[ \omega \]عدد چرخش (rotation number) در غیاب غیرخطی بودن را نشان می دهد و
\[ k \]شدت غیرخطی بودن را تعیین می کند.
نگاشت های دایره ای برای مدل سازی نوسانگرهای جفت شده، سیستم های فاز-قفل (phase-locked loops)، و پدیده های همگام سازی (synchronization) در فیزیک و زیست شناسی کاربرد دارند. یک پدیده مهم در این سیستم ها، «قفل شدگی» (locking) است که در آن نسبت فرکانس ها در یک بازه از پارامترها ثابت می ماند. مجموعه مقادیر پارامترهایی که قفل شدگی رخ می دهد، ساختاری فرکتالی به نام «پله های شیطان» (devil's staircase) را تشکیل می دهد.
عدد چرخش (rotation number)
\[ \rho(f) = \lim_{n\to\infty} \frac{f^n(\theta)-\theta}{n} \](که در آن
\[ f^n \]به عنوان یک تابع روی خط حقیقی دیده می شود) یک کمیت مهم برای توصیف دینامیک است. اگر
\[ \rho \]گویا باشد، دینامیک تناوبی است (قفل شدگی)، و اگر اصم باشد، شبه تناوبی (quasiperiodic) است.
