فرآیندهای تصادفی به عنوان سیستم (Stochastic Processes as Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
فرآیندهای تصادفی به عنوان سیستم (Stochastic Processes as Systems) :
فرآیندهای تصادفی (stochastic processes) خانواده ای از متغیرهای تصادفی هستند که معمولا با زمان (گسسته یا پیوسته) پارامتری می شوند. هر فرآیند تصادفی را می توان به عنوان یک سیستم دینامیکی تصادفی (stochastic dynamical system) در نظر گرفت که در آن تکامل در طول زمان توسط قوانین احتمالی تعیین می شود، نه قوانین قطعی. در این دیدگاه، فضای حالت می تواند هر فضای اندازه پذیری باشد و دینامیک توسط یک هسته انتقال (transition kernel) یا یک معادله دیفرانسیل تصادفی توصیف می شود.
مثال های کلاسیک: فرآیند پواسون (Poisson process) برای شمارش رویدادهای تصادفی، فرآیند وینر (Wiener process) یا حرکت براونی (Brownian motion) برای حرکت ذرات معلق در سیال، و فرآیندهای شاخه ای (branching processes) برای جمعیت ها. این فرآیندها خود به عنوان سیستم های دینامیکی با نویز درونی عمل می کنند.
تحلیل این سیستم ها با استفاده از ابزارهای نظریه احتمال، معادلات دیفرانسیل تصادفی، و نظریه ارگودیک تصادفی انجام می شود. مفاهیمی مانند پایداری تصادفی (stochastic stability)، میانگین های زمانی، و توزیع های پایا (stationary distributions) در این چارچوب مطالعه می شوند. برای مثال، یک فرآیند AR(1) در اقتصادسنجی:
\[ X_{n+1} = \phi X_n + \epsilon_n \]یک سیستم دینامیکی خطی با نویز است.
