نیم گروه های عملگرها (Operator Semigroups)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
نیم گروه های عملگرها (Operator Semigroups) :
نظریه نیم گروه های عملگرها (semigroup theory) چارچوبی قدرتمند برای مطالعه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) وابسته به زمان و سیستم های با بعد نامتناهی است. در این نظریه، جواب یک معادله تکاملی خطی به صورت
\[ u(t) = T(t) u_0 \]نمایش داده می شود که در آن
\[ \{T(t)\}_{t \ge 0} \]یک خانواده از عملگرهای خطی (روی یک فضای باناخ) است و خاصیت نیم گروهی
\[ T(t+s) = T(t)T(s) \]و
\[ T(0)=I \]را دارد. اگر این خانواده نسبت به
\[ t \]پیوستگی قوی (strong continuity) داشته باشد، آن را یک نیم گروه پیوسته قوی (
\[ C_0 \]-semigroup) می نامند.
مولد (generator) یک نیم گروه، عملگر
\[ A \]است که به صورت
\[ A u = \lim_{t\to 0^+} \frac{T(t)u - u}{t} \]تعریف می شود. رابطه بین نیم گروه و مولد آن با فرمول
\[ T(t) = e^{At} \](که در اینجا
\[ e^{At} \]یک نماد برای نیم گروه است) نشان داده می شود. برای مثال، معادله گرما
\[ u_t = \Delta u \]با شرایط مرزی مناسب، یک نیم گروه با مولد
\[ A = \Delta \](لاپلاسین) ایجاد می کند.
این نظریه ابزارهایی برای مطالعه وجود، یکتایی، و رفتار مجانبی جواب های PDEها فراهم می کند. مفاهیمی مانند پایداری نمایی (exponential stability) و فشردگی (compactness) نیم گروه ها در این چارچوب تحلیل می شوند. کاربردها در انتقال حرارت، انتشار موج، مکانیک کوانتومی (معادله شرودینگر) و معادلات جمعیت گسترده است.
