سیستم های با شاخه زایی دوره-دوبرابری (Period-Doubling Bifurcation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های با شاخه زایی دوره-دوبرابری (Period-Doubling Bifurcation Systems) :
شاخه زایی دوره-دوبرابری (period-doubling bifurcation) یکی از رایج ترین مسیرها به سوی آشوب در سیستم های دینامیکی است. در این نوع شاخه زایی، با تغییر یک پارامتر، یک مدار تناوبی با دوره
\[ T \]ناپایدار شده و یک مدار تناوبی جدید با دوره
\[ 2T \](دوبرابر) پایدار جایگزین آن می شود. با ادامه تغییر پارامتر، این فرایند تکرار شده و دوره ها به ترتیب
\[ 2T, 4T, 8T, ... \]ظاهر می شوند تا در نهایت به نقطه انباشت (accumulation point) برسیم، جایی که دوره به بی نهایت (آشوب) می گراید.
معروف ترین مثال، نگاشت لجستیک (Logistic map) است. در این نگاشت، شاخه زایی دوره-دوبرابری در دنباله ای از مقادیر پارامتر
\[ r_1, r_2, r_3, ... \]رخ می دهد که در آن
\[ r_n \]مقدار پارامتر برای شاخه زایی به دوره
\[ 2^n \]است. فاصله بین این مقادیر با نسبت ثابتی کاهش می یابد که به ثابت فایگنباوم (Feigenbaum constant)
\[ \delta \approx 4.6692016 \]معروف است. جالب اینکه این ثابت برای یک کلاس وسیع از سیستم ها (نگاشت های یک بعدی با یک بیشینه) یکسان است و نشان دهنده جهان شمولی (universality) در گذار به آشوب است.
این پدیده در بسیاری از سیستم های فیزیکی (مدارهای الکترونیکی، لیزرها، نوسانگرهای غیرخطی) و زیستی مشاهده شده است. تحلیل آن با استفاده از نگاشت بازگشتی (return map) و نظریه رونرمالیزاسیون (renormalization) انجام می شود. شاخه زایی دوره-دوبرابری یک راه استاندارد برای تولید آشوب از حرکت منظم است.
